Obrazy Fazowe Fraktalnych ...

Obrazy Fazowe Fraktalnych Rozmytych Szeregów Czasowych-02--Wołoszyn--p17, Uklady Dynamiczne, Chaos i ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->2002JacekWołoszynKatedra InformatykiObrazy fazowe fraktalnychrozmytych szeregów czasowychStreszczenie: Wpracyrozważanesązagadnieniazwiązanezmodelami systemówchaotycz-nych zdefiniowanychwprzestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych ,Badanesąrozmyteszeregiczasowe generowane przeztakie modele.Jednąz metodanalizyrozmytychfraktalnychszeregówczasowychSłowakonstnaowanie naich podstawierozmytychobrazów fazowych.kluczowe: chaos deterministyczny, rozmyty fraktalnyszeregczasowy,rozmyty obrazmoże byćfazowy,odwzorowanie kwadratowe,odwzorowanie logistyczne.I. WprowadzenieSzeregi czasowesą często wykorzystywanąwekonomiistrukturądanychopisującąprzebieg obserwowanego procesu. Znaturyswojej szeregczasowyprzedstawia zbiórelementówuporządkowanywzdłużosiczasu.Elementamiklasycznychszeregówczasowychsąliczby rzeczywiste. Jest towygodna iczęstowykorzystywana metoda do reprezentowania dynamikiróżnorodnychzłożo­nych systemów. w tymrównieżsystemów ekonomicznych.Wśródszeregów czasowychszczególnąklasę stanowiąszeregi nazywanefraktalnymi.Określenieto mazwiązekze zjawiskamichaosuobserwowanymiw systemach.którychdynamikęopisujątego rodzajuszeregi czasowe. Fraktalesąobiektami•.którecechujewłasnośćsamopodobieństwa.Obiektyfraktalnemożemy również uważaćzageometryczną reprezentacjęchaosu[Peitgen 1997].[Klldrewicz 1993].W niniejszejpracyrozważanesąwybrane problemyzwiązanezwłasnościamifraktalnych szeregów czasowychgenerowanychprzez proste systemycha-otyczne.Jednąz efektywnych metod badania takichszeregówjest konstruowa-nie ichobrazów fazowych.W przestrzeni fazowejmożnazaobselwowaćpewnezależności.któresątrudne dowykryciaprzy pomocyinnychmetod badaniaszeregów czasowych.I2. Chaos delermlnlslyn:nyJacekWołoszynZjawiskachaosu[Ott 1997). [Schuster 1995]. [Oleick 1996]związane sązespecyficznymcharakterem dynamikisystemu.wktórymwystępują.Chaosoznaczawystępowaniew badanym systemie przebiegówmającychbardzonieregularnykształt.Dodatkowo przebiegi tesątrudne do przewidzeniawdłuższymhoryzoncie czasowym. Termin chaos deterministyczny tylkopozornieprzedstawiazlożenieprteciwstawnychpojęć. Określenietowsposóbadekwatny charakteryzujespecyfikęzjawiskwystępującychw pewnychsyste-mach deterministycznych. aleprzebiegającychw sposóbchaotyczny.Przymiot-nik"deterministyczny"wskazuje na system dynamiczny. któregozachowaniejestwpełnijednoznaczne i pozbawione elementówlosowości.Systematycznie wzrasta liczba publikacjipoświęconychbadaniu dynamikisystemów chaotycznych[Schuster 1995]. [Ott 1997]. [Baker1998].Corazczę­ściejrównieżsystemy ekonomicznebadanesąmetodamiuwzględniającymirozpoznawanieianalizęzjawiskchaosudeterministycznegopojawiającego sięw tych systemach. Wiele praczzakresu dynamiki systemów chaotycznych pre-zentujerezultatyzwiązanezbadaniem zjawisk ekonomicznych [Peters 1997].[Zawadzki 1996].[lllleligentne...2000].Systemydynamicznewykazującezachowaniechaotycznecharakteryzująsięzwykledużą wrażliwościąnazmianęwarunkówpoczątkowych.Stansys-temu chaotycznegow wybranymmomenciewdużymstopniuzależyod stanupoczątkowegotegosystemu.Dużawrażliwośćnawarunkipoczątkowejestistotną przeszkodąw przewidywaniuprzyszłychzachowml systemu chaotycz-nego. szczególnie wdluższymhoryzoncieczasowym.Ta silnazależnośćozna-cza.żenawet bardzo niewieleróżniące sięmiędzysobąstanypoczątkowesys-temuchaotycznegoprowadządoosiągnięciaprzez tensystemzupełnieróżnychstanówkońcowych.Systemychaotyczneewoluują wzdłużtrajektorii przebie-gającychmiejscamibardzo blisko siebie.a czasamioddalającychsięznaczniewprzestrzeni fazowej.Jednymzistotnych warunków pojawieniasięzachowania chaotycznegow systemie deterministycznymjestnieliniowośćrelacji izwiązków występu­jącychw tym systemie. W systemach liniowych nie obserwujemy zachowaniachaotycznego.Zupełnieinnycharaktermająsystemynieliniowe. Ich dynamikapozwała obserwowaćnaglei nieoczekiwanezmianystanu.które trudno jestbadaćwsposóbanalityczny. Wieleinteresującychproblemów badawczychnapotykamyanalizującróżnezjawiska chaosu deterministycznegowystępują­cegowsystemach ekonomicznych.Systemy tesąwwiększościprzypadkówwłaśnienieliniowe. Powszechniedokonywana linearyzacjaprzeprowadzanawcelu uproszczenia modelu matematycznego badanego systemuczęstow re-zultacieeliminuje zkonstruowanego modelu najbardziejinteresującerelacje.stanowiące źródłojegochaotycznego zachowania.Postępowanietakiemożeradykalniezniekształcaćmodelowaną dynamikęsystemu.Główne korzyścirozmytych szeregów czasowychlinearyzacjiwiążą sięz radykalnym uproszczeniemobliczeńorazmożliwościąformułowania bezpośrednichprostych wnioskówdotyczącychzachowaniasiębadanego systemu.Teoria chaosu wykorzystujeróżnorodną metodologięw badaniuwłasnościzłożonychsystemów dynamicznych. Obokpodejściateoretycznego szerokostosowanesąmetody eksperymentalne. Ogromnemożliwościw tym zakresiedostarcza szybkorozwijająca sięw ostatnich latach technika informatycznaoraz innezwiązanezniądziedziny. Symulacja komputerowa pozwala w sto-sunkowo prosty sposób szybkogenerowaćpraktycznie dowolniedługie ciągiobserwacji matematycznego modelu systemu chaotycznego. Odpowiedni pro-gram komputerowymoże dokonywać równocześnie złożonejanalizy rezulta-tów otrzymanych podczas eksperymentu symulacyjnego. Analiza numerycznawraz z wykorzystaniem grafiki komputerowejstanowiąwygodnenarzędziabadania zachowaniasięsystemów dynamicznych, w których obserwowanesązjawiska chaosu.Wygodnymnarzędziembadania chaosuwystępującegow modelach matema-tycznych systemów dynamicznychsąkomputerowe eksperymenty symulacyjne.Komputerwyposażonyw odpowiedni program pozwala na uzyskanie szeregówczasowych zgodnie zwybraną formułą,która zwykle maformęrównaniaróżni­cowego. Równanie takie przedstawione w postaci iteracyjnej generuje w sposóbzdeterminowany kolejnewartościszeregu czasowegoreprezentującego wybranązmiennąbadanego modelu.Wspomnianewcześniej samopodobieństwoobiektów fraktalnych oznacza,że mający tę cechęobiekt jest podobny do dowolnego swojego fragmentu.Samopodobieństwo można łatwo zademonstrowaćnaprzykładziespecyficznegorodzaju figur geometrycznych. Fraktalna figura geometryczna jest podobnapodwzględem kształtudo swojej odpowiednio przeskalowanejczęści. Częstopodawanymprzykłademgeometrycznego obiektu fraktalnego jesttrójkątSier-pińskiego,któregoprzybliżenie,dla pewnegoskończonegopoziomu rekuren-cji, pokazano na rys. 1.Łatwo zauważamy, że cały trójkątfraktalnyzłożonyjest z trzech mniejszych, ale identycznie podwzględemstruktury zbudowanychfraktali.Własność samopodobieństwa trójkąta Sierpińskiegoprzejawiasięw tym,żepo wybraniumałegofragmentu tego fraktala i po odpowiednim jegopowiększeniu możnagodopasowaćdokształtu całejfigury.Podobne do opisanychwyżej własności samopodobieństwa stwierdzićmożna badając kształtwykresów szeregów czasowychopisującychzjawiskawystępującew systemach ekonomicznych. Szereg czasowy cen akcji pewnejspółkinotowanej nagiełdzie może hyćpodobny do swojego fragmentu. Dlaprzykładu weźmiemypoduwagęceny akcji WBK notowanych na Warszaw-skiejGiełdziePapierówWartościowych.Na rys. 2, 3 oraz 4 przedstawionezostaływykresy szeregów czasowych cen akcji WBK z pewnego okresu reje-strowanych z trzemaróżnymi częstościami.W tym przypadku interesuje nasjedyniekształtwykresów wspomnianych szeregów, adokładniej mówiąc,JacekWołoszynpodobieństwokształtutychwykresów. Wszystkie trzy wykresyzostaływcze-śniejodpowiednio przeskalowane, a na przedstawianych wykresachcełowopominiętezostałyopisydotycząceskałowaniaosi wykresów.Rys. I. Fraktalnytrójkąt SierpińskiegoŻródło;opracowaniewłasne.Rys.2.Szereg czasowy cen akcjiWBKŻI"ódlo:opracowanie wlasne.Przedstawione wykresy (rys.2-4)szeregów czasowych cen akcji WBKwykazują duże samopodobieństwogeometryczne, co w praktyce objawiasiętrudnością bezpośredniegoijednoznacznegorozstrzygnięcia,któryzomawia-nychwykresów reprezentujeszeregczasowy cenakcji rejestrowanych wdłuż­szych, a który w krótszych okresach. Wrzeczywistościrys.2 przedstawiawykres szeregu czasowegocendziennych, rys. 3 wykres szeregu czasowegocen tygodniowych,arys. 4 wykres szereguczasowegocenmiesięcznych.Rys.3. Szeregczasowy cen akcji WBKŹródło:oprncowaniewłasne.Rys. 4.Szereg czasowycen akcjiWBKŻródło:opracowanie wlasne.W dalszejczęścipracywykorzystywaćbędziemyproste odwzorowanie kwa-dratowegenerująceprzebiegichaotyczne.W tym miejscuwskażemyjedynienati'aktalnycharakterszeregówczasowychotrzymywanych poprzez iterowaniewspomnianegoodwzorowania. Na rys.5 przedstawionyzostałwykresszereguczasowego otrzymanego w wyniku wykonania500krokówiteracji.Traktującwykres jak obiekt fraktalny,sprawdzićmożemypodobiel\stwojegofragmentudocałościobiektu.Rysunek 6 pokazuje odcinekdługości90 kroków iteracjiwyciętyzpoczątko­wegoszeregu czasowegopokazanego narys. 5. Skala otrzymanego wykresuzostalazmodyfikowanawcelu uzyskaniazmiennościporównywalnej ze zmien-nościąpierwotnego szeregu.Porównująckształtyobydwu wykresówłatwozauważyćmożnaichzdecydowanepodobieństwo. Wykonującjeszcze razJlodoblU)operację,otrzymujemy rys. 7, który przedstawia odpowiedniopowięk­szony odcinek odługości9 iteracji,wyciętyz wykresu zamieszczonegona rys.6. [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl