Od pięciokąta do fraktala

Od pięciokąta do fraktala,

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
P
O D S U M O WA N I E P R O J E K T U
“Od piêciok¹ta foremnego do
fraktala dwunastoœciennego”
1
Spis treœ ci:
1.
Kilka sł ów w ramach wstê pu.
2.
T ajemnicza natura fraktali.
3.
Jak powstał y pierwsze
fraktale geometryczne.
4.
Relacja z warsztatów.
5.
Liczby te¿ mog¹ byæ
fraktalami.
6.
Z ł ota liczba i zł oty podział
oraz jego wystê powanie.
7.
Podziê kowania
Kilka słów w ramach wstêpu ...
nia. Uwieñczeniem całego przedsiêwziêcia
był listopadowy weekend geometrii w
Lüdinghausen (Niemcy). Podczas tych
warsztatów mieliœmy okazjê uczestnicze-
nia w wykładzie, który poprowadził dr
Christoph Pöppe, na temat wielok¹tów i
brył foremnych oraz ich zwi¹zku z frakta-
lami geometrycznymi. Uczniowie i
nauczyciele mogli równie¿ sprawdziæ wła-
sne pokłady cierpliwoœci, starannoœci i
dokładnoœci podczas budowy drugiego
kroku fraktala, opartego na dwunastoœcia-
nie foremnym. Myœlê, ¿e nagrod¹ i wspa-
niałym prze¿yciem dla nas wszystkich, był
widok ogromnego, a zarazem piêknego
obiektu matematycznego, który udało nam
siê
Na pocz¹tku roku szkolnego, lotem
błyskawicy, rozeszła siê po szkole informa-
cja o naborze uczniów do realizacji kolej-
nej czêœci miêdzynarodowego projektu
Sokrates-Comenius. Jak wiêkszoœci z Was
wiadomo, szkoła uczestniczy w tym pro-
jekcie ju¿ trzeci rok, a opiekunem jest pani
mgr El¿bieta Syrek. To właœnie ona, w
maju 2005, zaproponowała mi udział w
matematycznej czêœci tego projektu i
umo¿liwiła kontakt z nauczycielami mate-
matyki ze szkół z Niemiec, Francji i Luk-
semburga.
Nasza współpraca miała dotyczyæ
pojêcia fraktali, ich własnoœci i zastosowa-
„wyczarowaæ”
podczas dwóch dni
2
ciê¿kiej pracy.
Jednak zanim wyjechaliœmy do Nie-
miec, kilkunastoosobowa grupa uczniów
spotykała siê w ka¿dy czwartek na kółku
poœwiêconym projektowi. Zajêcia prowa-
dzili nauczyciele i uczniowie. Nasze coty-
godniowe spotkania pełne były niespodzia-
nek, jak równie¿ przyjemnoœci z odkrywa-
nia nieznanych dot¹d zagadnieñ matematy-
ki i radoœci tworzenia. Myœlê, ¿e uczyliœmy
siê od siebie nawzajem. Efekty pracy
mo¿ecie zobaczyæ na zdjêciach umieszczo-
nych w antyramach na pierwszym piêtrze
obok sali 210 i podczas wystawy prac w
auli, natomiast artykuły
napisane przez uczniów
pomog¹ Wam zrozumieæ,
czym s¹ fraktale, co siê z
nimi wi¹¿e i gdzie mo¿na je
spotkaæ.
W tym miejscu
chciałabym jeszcze ser-
decznie podziêkowaæ za
współpracê panom mgr
El¿biecie Syrek i mgr Aga-
cie ¯ochowskiej oraz panu
mgr. Apolinaremu Zieliñ-
skiemu za owocn¹ współ-
pracê, zaanga¿owanie i
pomoc w realizacji tego
projektu. A Wam, drodzy czytelnicy, ¿yczê
miłej lektury i przyjemnego zgłêbiania taj-
ników, ukrytych w barwnym œwiecie mate-
matyki.
TAJEMNICZA NATURA FRAK-
TALI.
CZYM S¥ FRAKTALE?
Obserwuj¹c przyrodê, czêsto
upraszczamy j¹, sprowadzaj¹c jej formy
do prostych brył geometrycznych. I tak:
horyzont to linia prosta, drzewa to walce
itp. W ten sposób na przyrodê patrzył
ju¿ Euklides. Czy jednak taka jest jej
prawdziwa struktura?
W 1980 roku Benoit Mandelbrot
badał pewne wielomiany zespolone i otrzy-
mał interesuj¹ce wykresy. Patrz¹c na nie,
wysnuł przypuszczenie, ¿e geometria
euklidesowa nie nadaje siê do opisu przy-
rody - góry nie s¹ sto¿kami, a linia brzego-
wa nie jest odcinkiem. S¹ to raczej, jak to
okreœlał Euklides, “bezkształtne” formy,
które Mandelbrot nazwał fraktalami - od
DANUTA BORKO
3
łaciñskiego słowa fractus co znaczy
“podzielony”, “ułamkowy”. Nazwa ta jest
adekwatna - dobrze oddaje strukturê frak-
tali. Charakteryzuje je bowiem wysokie
samopodobieñstwo - ka¿dy fragment przy-
pomina całoœæ.
Nie jest łatwo jednoznacznie zdefi-
niowaæ, czym s¹ fraktale. Za kryterium
mo¿na jednak przyj¹æ wymiar, który dla
fraktali nie jest liczb¹ naturaln¹, co mo¿e
wydawaæ siê nieco dziwne. Przypomnijmy,
w geometrii euklidesowej prostej przypisu-
jemy wymiar 1, płaszczyŸnie - 2, przestrze-
ni - 3, czyli liczby naturalne.
Generalnie fraktale - to interpretacja
graficzna pewnych równañ czy ci¹gów,
które do niedawna uchodziły za matema-
tyczne „potworki”, zupełnie abstrakcyjne i
nie maj¹ce ¿adnych odniesieñ do rzeczywi-
stoœci. Ich tworzenie polega na powtarza-
niu w nieskoñczonoœæ okreœlonych
czynnoœci, na liczeniu kolejnych elemen-
tów pewnych ci¹gów i dobieraniu koloru
Jaka jest faktyczna struktura przyro-
dy? Na obrazkach dzieci jawi siê ona czê-
sto jako kombinacje prostych figur geome-
trycznych (dom - kwadrat, słoñce - kółko,
pies - prostok¹t, chmura - elipsa itd.).
Patrzymy na to z odrobin¹ wy¿szoœci, ale -
tak na prawdê - czy nasze pojmowanie
œwiata tak bardzo ró¿ni siê od jego pojmo-
wania przez dziecko? Proszê spróbowaæ
narysowaæ wodê albo chmurê z cał¹ jej
skomplikowan¹ struktur¹. Nie jest to takie
łatwe, prawda? Czy mo¿na powiedzieæ, ¿e
chmura jest elipsoid¹ albo prostopadłoœcia-
nem? A drzewo? Czy mo¿na jednoznacznie
powiedzieæ, ¿e pieñ to sto¿ek, liœcie to trój-
k¹ty, a gałêzie to odcinki? Jak nazwaæ
kształt płomienia albo błyskawicy?
To właœnie s¹ przykłady wystêpuj¹cych w
przyrodzie obiektów fraktalnych. Chmura
stanowi niew¹tpliwie jedn¹ całoœæ, ale jest
“dziurawa” jak g¹bka, poniewa¿ składa siê
z nieprzebranej iloœci mikroskopijnych
kropelek wody i pary wodnej. Jest wiêc
odrêbn¹ całoœci¹, ale zło¿on¹
z wielu mniejszych całoœci,
tak¿e odrêbnych. Je¿eli
“wytniemy” mały kawałek
chmury, to otrzymamy coœ bar-
dzo do niej podobnego. Gdy
odłupiemy kawałek skały, to
otrzymamy miniaturkê całej
skały. I jeœli sfotografujemy
odłupany fragment bez ¿adne-
go układu odniesienia (np.
pudełka zapałek, którego wiel-
koœæ znamy), to nie bêdziemy w stanie
odró¿niæ go od prawdziwej góry (ten efekt
rysowanego punktu w zale¿noœci od wyni-
ku.
4
bardzo czêsto wykorzystuje siê w trikach
filmowych)! Podobnie fraktale: nie mo¿na
jednoznacznie nazwaæ ich kształtów, a przy
tym charakteryzuj¹ siê one du¿ym samopo-
dobieñstwem - fragment przypomina
całoœæ, równie¿ przy fraktalach ró¿nych
rodzajów.
Przygl¹daj¹c siê fraktalom, ciê¿ko
siê oprzeæ wra¿eniu, ¿e formy te s¹ nam
znajome. Widaæ ich podobieñstwo do
ognia, wody, szronu. Efekt plazmy dosko-
nale oddaje chaotyczn¹ strukturê chmur, a
specyficzne spirale-ramiona przypominaj¹
konika morskiego, rozgwiazdy, glony, czy
morskie wodorosty.
Jednego z przedstawionych fraktali
mo¿na wprost pomyliæ z wizerunkiem bły-
skawicy (to nie jest zdjêcie nieba podczas
tych podobieñstw. Có¿, jest to zagadnienie
z dziedziny metafizyki... Mo¿e kiedyœ
bêdziemy umieli je rozwi¹zaæ. Do niedaw-
na w nauce panował deterministyczny
pogl¹d, ¿e wszystko mo¿na przewidzieæ i
obliczyæ. Pogl¹d ten ostatnio zacz¹ł siê
powa¿nie chwiaæ, a jednoczeœnie nadzieje
pokładane w komputerach i ich mocy obli-
czeniowej okazały siê przesadne. WeŸmy
na przykład powierzchniê wody w jeziorze.
Dopóki jest ona płaska (nie ma wiatru)
mo¿na przyj¹æ, ¿e jest zwykł¹, łatw¹ do
opisania matematycznie płaszczyzn¹. Gdy
wrzucimy do jeziora jeden lub dwa drobne
kamyczki, to powstałe fale koliste te¿
mo¿emy „od biedy” opisaæ odpowiednim
równaniem mechaniki falowej. Ale gdy
wrzucimy cał¹ garœæ takich kamyków, albo
burzy!).
Podobieñstwo to bierze siê st¹d, ¿e
fraktale maj¹ charakterystyczny, chaotycz-
ny “kształt”, który znacznie lepiej oddaje
strukturê przyrody ni¿ tradycyjne pojêcia
geometrii. Jednak najdziwniejsze, i jak na
razie najbardziej tajemnicze, jest Ÿródło
jeden wielki kamieñ nieforemny, to nie ma
¿adnych szans na policzenie współrzêd-
nych cz¹stek, tworz¹cych powierzchniê
tafli jako funkcji czasu. Mo¿na powie-
dzieæ, ¿e absolutnie nie da siê przewidzieæ
dokładnego zachowania wody po wrzuce-
niu w ni¹ kamienia - nie mówi¹c ju¿ o obli-
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl