Odkształcenia

Odkształcenia, MiBM UWM, Wytrzymałość materiałów

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.6. TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA6.1. Wektor przemieszczenia liniowego. Odkształcenia liniowe i kątowe.Kilkakrotnie już było powiedziane,żeprzedmiotem naszych rozważań jest ciało odkształcal-ne, tzn. takie, które pod działaniem sił obciążających lub innych czynników (np. cieplno-wilgotnościowych) zmienia swoje kształty i wymiary. Oznacza to,żepunkty tego ciała mogązmieniają swoje położenie w przestrzeni, przy czym, co wyraźnie należy podkreślić, będzienas interesować zmiana położenia punktów ciała powstała w wyniku jego deformacji, a niena skutek jego ruchu jako bryły sztywnej.Wektor mający początek w punkcie ciała niezdeformowanego (w konfiguracji początkowej), akoniec w tym samym punkcie po deformacji (wkonfiguracji aktualnej) nazywać będziemyA’wektorem przemieszczenia liniowego w tymApunkcie. Na rys. 6.1 jest to wektoruwA A'=u+v+w. Ponieważ, w ogólności wektoryZvprzemieszczenia liniowego w różnych punktach sąróżne to możemy powiedzieć,żeprzyłożoneobciążenia generują w bryle odkształcalnejYXwektorowe pole przemieszczeń, któregowspółrzędne są funkcjami położenia punktu wkonfiguracjakonfiguracji początkoweju=u(x,y,z),aktualnav=v(x,y,z),w=w(x,y,z).Taki opis deformacjiRys. 6.1bryły nazywamy materialnym a współrzędne,współrzędnymi Lagrange’a.Do oceny wielkości zmian kształtów i wymiarów bryły wygodnie jest zdefiniowaćpewne ichmiary - miary deformacji.konfiguracjapoczątkowaB’l+∆lA’lO’DCD’C’konfiguracjapoczątkowaZYABOXkonfiguracjaaktualnaRys. 6.2W tym celu rozważmy zachowanie siędwóchpunktówAiBktóre w konfiguracji początkowejodległe były ol, a po przyłożeniu obciążeniadługośćłączącego ich włókna (linii materialnej)zwiększyła sięo∆l(rys. 6.2).Odkształceniem liniowym w punkcieAw kierunkupunktuBnazywaćbędziemy:∆lεAB=lim(6.1)l→lMożemy więc powiedzieć,że odkształceniemliniowym w punkcie w wybranym kierunkunazywamy względny przyrost długości włókna wtym punkcie na skutek przyłożonych obciążeń.Odkształcenieliniowe,któreodpowiadawydłużeniu włókna uważamy za dodatnie.Odkształcenieliniowenazywaneteżsąodkształceniami podłużnymi.49Adam Bodnar: WytrzymałośćMateriałów. Teoria stanu odkształcenia.Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez wspólny punktOwkonfiguracji początkowej (rys. 6.2) to ich odkształcenie kątowe definiujemy jako:γCOD=C→O i D→Olimˆˆ(COD−C O D).'''(6.2)Zatem odkształceniem kątowym nazywaćbędziemy kąt o jaki zmieni sięw wynikuprzyłożonych obciążeńkąt prosty między dwoma włóknami przechodzącymi w konfiguracjipoczątkowej przez wspólny punkt.Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie siękąta prostego uważamy zadodatnie.Odkształcenie kątowe nazywane teżsąodkształceniami postaciowymi.6.2. Stan odkształcenia w punkcieStan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceńliniowych i kątowychwszystkich włókien przechodzących przez ten punkt.Można wyróżnićtrzy rodzaje stanu odkształcenia w punkcie: jednoosiowy, płaski iprzestrzenny.Sąone związane z wymiarowościąmodelu ciała, który został przyjęty do rozważańi stądjednoosiowy stan odkształcenia nie znajduje teoretycznych i praktycznych zastosowań.W tym miejscu warto podkreślićzasadnicze różnice między pojęciami, które występująwteorii stanu odkształcenia i naprężenia. W definicji odkształceńwystępuje punkt i określoneco do kierunku włókno przez niego przechodzące, a w definicji naprężenia występuje punkt ipłaszczyzna o określonej normalnej przechodząca przez ten punkt. Dlatego, mimo,że jak siępóźniej okaże identycznego matematycznego formalizmu w obliczeniach, nie wszystkiecechy obu tych stanów mogąbyćidentycznie interpretowane i traktowane.Mówimy,że znamy stan odkształcenia w analizowanej konstrukcji, jeśli znamy stanodkształcenia w każdym jej punkcie.6.3. Macierz odkształceń. Graficzny obraz macierzy odkształceńW dowolnie wybranym punkcie bryły możemy definiowaćodkształcenia liniowe i kątowe wdowolnych kierunkach, równieżw kierunkach osi układu odniesienia. Odkształcenia liniowe ikątowe w danym punkcie w kierunkach osi układu zapiszemy w postaci macierzy, którąnazywaćbędziemy macierząodkształceń:11γxyγxzεx2211Tε=γyxεyγyz(6.3)2211γzyεzγzx22Tak więc:macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń liniowych ikątowych trzech włókien przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi układuodniesienia.Macierz uporządkowana jest w ten sposób,że na przekątnej występująodkształcenia liniowea poza przekątnąpołówki odkształceńkątowych. Czytelna jest teżwymowa indeksów przyodkształceniach.I tak np.εzto odkształcenie liniowe włókna równoległego do osiZ, aγxyto odkształceniekątowe włókien równoległych do osiXiY.Z definicji elementów macierzy odkształceńwynika jej symetria:50Adam Bodnar: WytrzymałośćMateriałów. Teoria stanu odkształcenia.γxy=γyx,γxz=γzx,γyz=γzy(6.4)Jak sięwkrótce przekonamy macierz odkształceńw punkcie będzie podstawąokreślenia wnim stanu odkształcenia.Graficzny obraz macierzy odkształceńw punkcie można przedstawićw postaci deformacjiprzechodzących przez ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien odowolniemałych długościachdx=dy=dz=1, które sąrównoległe do osi układuwspółrzędnych (rys. 6.3) .Wszytkie pokazane na rys. 6.3 odkształcenia sądodatnie.ZDdzdydxBZDdzYCdxBXZD’εzdzεydydyY’C CZD’DdydzYCAAdxBXAB’XεxdxZDZDD’CD1γxy2BXB’1γyx2ACY1γzx2B’AYC1γzy2AYC’1γxzB2XBX1γyz2CRys. 6.36.4. Tensor odkształceń. Odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanychwłókienMożna dowieść,że macierz odkształceńjest tensorem drugiego rzędu (patrz np. S.Piechnik:WytrzymałośćMateriałów. PWN 1978) co oznacza,że jej elementy transformująsięprzyzmianie układu odniesienia w pewienściśle określony sposób zwany prawem transformacjitensora, oraz ,że w wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersorv(l,m,n)otrzymamypewien wektorev(evx, evy, evz), który możemy nazwaćwektorem odkształcenia1określonyzależnościami:εxevx 1evy=γyxe 21vzγzx21γxy21γxz2l 1γyz m2n εzev=Tεv→εy1γzy2.(6.5)1J.Więckowski: Wytrzymałość Materiałów . Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1975.51Adam Bodnar: WytrzymałośćMateriałów. Teoria stanu odkształcenia.ZI co więcej, znajomośćmacierzy odkształceńwdowolnym punkcie O (tzn. znajomośćodkształceńliniowych i kątowych trzechwzajemnie prostopadłych włókien OA, OB iOC pokazanych przykładowo na rys. 6.4)wystarcza do określenia odkształceńliniowychikątowychdowolnychwłókienprzechodzących przez ten punkt, bo własnościtensora pozwalająnapisaćponiższe zależności:εx1εv=(l , m , n)γyx21γzx21γxy21γxz2l 1γyz m,2n1 γz21γxy21γxz2l 1γyz m,2n1 γz21γxz2l 1γyz m’2n1 γz2DξXOAvBYηRys. 6.4εy1γzy2(6.6)1γvξ2εx1=(l1, m1, n1)γyx21γzx2εx1=(l2, m2, n2)γyx21γzx2εy1γzy21γxy2(6.7)1γvη2εy1γzy2(6.8)w których:εv,γvξ,γvηto odkształcenia liniowe i kątowe trzech wzajemnie prostopadłychwłókien równoległych do dowolnej ale ortogonalnej trójki wersorówv(l,m,n),ξ(l1, m1, n1)η(l2, m2, n2).Dalsze rozważania przeprowadzimy dla płaskiej tarczy leżącej w płaszczyźnie (X, Y) w którejpanuje płaski stan odkształcenia.Wybierzmy w niej pokazane na rys. 6.5 dwaprostopadłe włóknaABiACprzechodząceprzez wspólny, dowolnie wybrany punktAwktórym znana jest macierz odkształceń:1γxyεx2Tε=1γεyyx2Kierunki tych włókien sąrównoległe do dwójkiwersorówξ(l , m)iη(−m , l)nachylonych pod52C’π2−γαB’CYηAAA’ξαBXRys. 6.5Adam Bodnar: WytrzymałośćMateriałów. Teoria stanu odkształcenia.dowolnym kątemαdo osi układu (X,Y).Odkształcenie linioweεαnachylonego pod kątemαdo osiXwłóknaAB,jak i odkształceniakątoweγαwłókienCABwyznaczymy korzystając ze wzorów (6.6) i (6.7):1γxy lεx2  =εl+1γml+1γl+σmm=εl2+εm2+2 1γlm,εα=(l , m)yxxyyxyxym x1222γ   yxεy21γxyεx12 l=εl+1γm(−m)+1γl+σml=  xγα=(−m, l)yxxyy 122γ m 2yxεy21=εy−εxlm+γxyl2−m2.2Jeśli w powyższych związkach uwzględnimy,żel=cosα,m=sinαoraz zależnościtrygonometryczne:()()sin 2α=2 sinαcosα, cos 2α=cos2α−sin2α,cos2α=(1+cos 2α)2 ,sin2α=(1−cos 2α)2 ,to odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanych włokien wyrażone poprzezwspółrzęne macierzy odkształceńprzedstawiająsięnastępująco:εx+εyεx−εy1εα=+cos 2α+γxysin 2α,(6.10)222εx−εy11γα=−sin 2α+γxycos 2α.(6.11)222Zależności te pokazują,że macierz odkształceńw punkcie określa w nim stan odkształcenia,gdyżpozwala na wyznaczenie odkształceńliniowych i kątowych dowolnych włókienprzechodzących przez ten punkt.Z równania (6.10)łatwomożna zobaczyć,że:εα+εα+90o=εx+εyco dowodzi twierdzenia,że suma odkształceńliniowych dwóchprostopadłych włókien przechodzących przez dowolny punkt jest wielkościąstałą, tzn. niezależy od układu odniesienia. Bardziej formalnie możemy powiedzieć,że suma odkształceńna przekątnej głównej macierzy odkształceńjest niezmiennikiem. Twierdzenie to jest równieżprawdziwe w przypadku przestrzennego stanu odkształcenia.6.5. Ekstremalne odkształcenia liniowe i kątowePozostaniemy przy analizie stanu odkształcenia płaskiej tarczy. Zależności (6.10) i (6.11)pokazują,że znajomośćmacierzy odkształceńw dowolnym jej punkcie pozwala wyznaczyćwartości odkształceńliniowych i kątowych dowolnie zorientowanych włókien przezeńprzechodzących. W tej sytuacji naturalne jest postawienie dwóch ważnych zagadnień:••wyznaczyćwłókna których odkształcenia liniowe sąekstremalne i wyliczyćwartości tychodkształceńliniowych,wyznaczyćwłókna których odkształcenia kątowe sąekstremalne i wyliczyćwartości tychodkształceńkątowych.53 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl