Obserwalnosc obserwatory

Obserwalnosc obserwatory, Automatyka i Robotyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Obserwowalność układów liniowych stacjonarnych. Obserwatory.
1. Obserwowalno ść układów liniowych stacjonarnych
Układ liniowy stacjonarny opisany jest równaniami:
Bu
x
&
=
Ax
+
x
=
( )
0
x
0
1.1
y
=
Cx
+
Du
1.2
= -
wektor odpowiedzi, A, B, C, D – macierze o wartościach rzeczywistych o wymiarach
n
x
=
x
( )
t
˛
n
- wektor stanu,
u
=
u
( )
t
˛
m
- wektor sterowań,
y
y
( )
˛
r
n
·
,
n
·
,
n
m
r
·
,
m
r
·
.
Definicja:
Układ liniowy stacjonarny opisany równaniami 1.1 i 1.2 jest obserwowalny,
jeżeli istnieje chwila
t
f
>0 taka, że dla danych
u(t)
i
y(t)
w przedziale [0,
t
f
] można
wyznaczyć stan początkowy
x
0
tego układu.
1.
Układ liniowy stacjonarny opisany równaniami 1.1 i 1.2 jest obserwowalny,
wtedy i tylko wtedy, gdy rząd
macierzy obserwowalności
jest równy n.
Ø
C
ø
Œ
œ
CA
Œ
œ
rank
=
n
1.3
Œ
...
œ
Œ
œ
º
CA
n
-1
ß
2.
Układ liniowy stacjonarny o jednym wyjściu (r=1) opisany równaniami 1.1 i 1.2
jest obserwowalny, wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik
macierzy
obserwowalności
jest różny od zera.
Ø
C
ø
Œ
œ
CA
Œ
œ
det
„
0
1.4
Œ
...
œ
Œ
œ
º
CA
n
-
1
ß
Przykład 1:
Wykazać , że układ o macierzach A i C jest obserwowalny:
Ø
1
-
1
2
ø
Ø
0
1
-
1
ø
Œ
œ
A
=
2
-
1
1
C
=
º
ß
Œ
œ
0
0
1
Œ
2
1
2
œ
º
ß
Rozwiązanie:
Na podstawie wzoru 1.3 konstruujemy macierz obserwowalności oraz liczymy jej rząd.
Zakład Automatyki E – 32
1
gdzie
t
 Obserwowalność układów liniowych stacjonarnych. Obserwatory.
Ø
0
1
-
1
ø
Œ
œ
Ø
C
ø
0
0
1
Ø
C
ø
Œ
œ
Œ
œ
CA
Œ
0
-
2
-
1
œ
Œ
œ
Œ
œ
rank
=
rank
CA
=
rank
=
3
Œ
œ
Œ
...
œ
Œ
œ
2
1
2
Œ
œ
Œ
CA
2
œ
Œ
œ
º
ß
CA
n
-
1
Œ
-
6
1
-
4
œ
º
ß
Œ
œ
º
8
-
1
9
ß
Rząd macierzy obserwowalności jest równy wymiarowi macierzy A, więc układ o
macierzach A i C jest układem obserwowalnym.
Przykład 2:
Dany jest układ dynamiczny, zbadać jego obserwowalność:
( )
( )
x
1
t
ø
=
Ø
-
2
1
ø
Ø
x
1
( )
( )
t
ø
+
Ø
0
ø
u
( )
t
º
ß
º
ß
º
ß
º
ß
x
t
1
-
1
x
t
1
2
2
( )
( )
ß
y
( )
[
t
=
1
-
1
]
º
x
1
t
ø
x
t
2
Rozwiązanie:
Na podstawie wzoru 1.4 konstruujemy macierz obserwowalności oraz liczymy jej
wyznacznik.
Ø
C
ø
Œ
œ
CA
Ø
C
ø
Ø
1
1
ø
Œ
œ
det
=
det
=
det
=
1
„
0
º
ß
º
ß
Œ
...
œ
CA
-
3
-
2
Œ
œ
º
CA
n
-
1
ß
Układ jest obserwowalny, gdyż wyznacznik macierzy obserwowalności jest różny od 0.
1.1 Sterowalność układów liniowych stacjo narnych
Definicja:
Układ liniowy stacjonarny opisany równaniami 1.1 i 1.2 jest sterowalny, jeżeli
stosując sterowanie ograniczone przedziałami ciągłe można go przeprowadzić w
skończonym czasie z dowolnego zadanego stanu początkowego
x
0
do zadanego stanu
końcowego, przyjmowanego zwykle
x
k
=0.
1.
Układ liniowy stacjonarny opisany równaniami 1.1 i 1.2 jest sterowalny, wtedy i
tylko wtedy, gdy rząd macierzy sterowalności jest równy n.
[
rank
B
AB
...
A
n
-1
B
]
n
=
1.1.1
2.
Układ liniowy stacjonarny o jednym wyjściu (r=1) opisany równaniami 1.1 i 1.2
jest obserwowalny, wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy sterowalności
jest różny od zera.
Zakład Automatyki E – 32
2
&
Ø
&
Ø
 Obserwowalność układów liniowych stacjonarnych. Obserwatory.
det
[
B
AB
...
A
n
-
1
B
]
0
„
1.1.2
Uwaga:
Sterowalność i obserwowalność są zagadnieniami dualnymi względem siebie
!
1.2 Postać kanoniczna Jordana w zagad nieniu obserwowalno ści i sterowalności
W celu lepszego określenia własności dynamicznych układu wygodnie jest dobrać takie
współrzędne, aby macierz współczynników przy wektorze stanu przybrała postać
kanoniczną zawierającą wartości własne na przekątnej głównej. Postać taką nazywamy
postacią kanoniczną Jordana
.
Rozważając liniowy układ dynamiczny o równaniach 1.1 i 1.2. Każdy wektor stanu
z(t)
określony dla tego układu jest związany z wektorem
x(t)
zależnością
( )
tx
=
Pz
( )
t
1.2.1
W której P jest nieosobliwą macierzą o wymiarach
nxn
Stosując podstawienie 1.2.1 do układu opisanego równaniami 1.1 i 1.2 otrzymujemy
układ
z
( )
t
=
P
-
1
APz
( )
t
+
P
-
1
Bu
( )
t
1.2.2
( )
( )
( )
y
t
=
CPz
t
+
Du
t
1.2.3
przy czym
P
-1
AP
=
J
1.2.4
1.2.5
gdzie macierz J jest
postacią kanoniczną Jordana
macierzy A. Macierz ta ma te same
niezmienniki co macierz A. Macierz P jest
macierzą przekształcenia diagonalizującego
złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym macierzy A.
Postać kanoniczna Jordana macierzy zależna jest od wartości własnych tej macierzy.
Wyróżniamy następujące przypadki
1.
Jednokrotna rzeczywista wartość własna macierzy A
2.
Wielokrotna rzeczywista wartość własna macierzy A
a)
Wiele wektorów własnych liniowo niezależnych odpowiadających jednej
wartości własnej
b)
Jeden wektor liniowo niezależny odpowiadający jednej wartości własnej
3.
Jednokrotna zespolona wartość własna macierzy A
4.
Wielokrotna zespolona wartość własna macierzy A
a)
Wiele wektorów własnych liniowo niezależnych odpowiadających jednej
wartości własnej
b)
Jeden wektor liniowo niezależny odpowiadający jednej wartości własnej
Dla powyższych przypadków postać kanoniczna Jordana dana jest wzorem
CP
=
C
*
,
P
-
1
B
=
B
*
Przypadek 1 →
np
.
J
=
Ø
1
0
0
ø
º
ß
l
2
Przypadek 2a →
np
.
J
=
Ø
l
1
0
0
ø
º
ß
l
1
Przypadek 2b →
np
.
J
=
Ø
1
0
1
ø
º
ß
l
1
Zakład Automatyki E – 32
3
&
l
l
 Obserwowalność układów liniowych stacjonarnych. Obserwatory.
Przypadek 3 →
np
.
J
=
Ø
a
b
ø
, gdzie
l
=
a
–
bj
º
ß
-
b
a
Ø
Ø
a
b
ø
Ø
1
0
ø
ø
Œ
œ
º
ß
º
ß
-
b
a
0
1
Przypadek 4b →
np
.
J
=
Œ
œ
, gdzie
l
=
a
–
bj
Œ
Ø
a
b
ø
œ
0
Œ
º
ß
œ
-
b
a
º
ß
Należy podkreślić, że sterowalności i obserwowalność są niezmiennicze względem
transformacji Jordana.
Warunki, jakie musi spełnić macierz C
*
aby układ był obserwowalny
I.
Zagadnienie obserwowalności dla przypadków 1 i 2b macierzy J
[ ]
Ø
l
1
0
ø
Œ
œ
J
=
Ø
l
2
1
ø
Œ
0
œ
º
ß
0
l
Œ
œ
2
C
*
=
[
„
0
„
0
]
II.
Zagadnienie obserwowalności dla przypadku 2a macierzy J
[ ]
J
=
º
l
1
[ ]
ß
ø
→ Wyjść jest tyle ile jest klatek Jordana dla wektorów
l
1
własnych liniowo niezależnych odpowiadających jednej
wartości własnej
C
*
=
Ø
|
|
ø
º
ß
|
|
kolumny liniowo niezależne
III.
Zagadnienie obserwowalności dla przypadku 3 macierzy J
J
=
Ø
a
b
ø
º
ß
-
b
a
lub
C
*
=
[
„
0
„
0
]
Warunki, jakie musi spełnić macierz B
*
aby układ był sterowalny
I.
Zagadnienie sterowalności dla przypadków 1 i 2b macierzy J
Zakład Automatyki E – 32
4
º
ß
Ø
 Obserwowalność układów liniowych stacjonarnych. Obserwatory.
Ø
[ ]
l
1
0
ø
Ø
„
0
ø
Œ
œ
Œ
œ
J
=
Ø
l
1
ø
B
*
=
2
Œ
œ
Œ
0
œ
º
ß
0
l
Œ
œ
Œ
œ
„
0
º
2
ß
º
ß
II.
Zagadnienie sterowalności dla przypadku 2a macierzy J
[ ]
J
=
Ø
l
1
ø
B
*
=
Ø
-
-
ø
wiersze liniowo niezależne
º
[ ]
ß
º
ß
l
-
-
1
III.
Zagadnienie sterowalności dla przypadku 3 macierzy J
J
=
Ø
a
b
ø
lub
B
*
=
Ø
„
0
ø
º
ß
º
ß
-
b
a
„
0
2. Obserwatory układów liniowy ch stacjonarnych
Dany jest układ liniowy stacjonarny opisany równaniami:
x
( )
t
=
Ax
( )
t
+
Bu
( )
t
2.1
( )
( )
y
=
t
Cx
t
2.2
gdzie
( )
x
t
˛ - wektor stanu,
( )
n
u
t
˛
m
- wektor sterowań,
( )
y
t
˛ - wektor
r
odpowiedzi, A, B, C– macierze o wymiarach
n
· ,
n
n
· ,
n
m
r
· oraz stałych
niezależnych od czasu współczynnikach.
Założenia przyjęte w dalszych obliczeniach:
1.
Układ opisany równaniami 2.1 i 2.2 jest sterowalny i obserwowalny.
2.
Rząd macierzy C równa się r (rankC=r), r<n.
Obserwatorem
układu opisanego równaniami 2.1 i 2.2 nazywamy układ opisany
równaniami 2.3 i 2.4 odtwarzający niemierzalne zmienne stanu tego układu na podstawie
wymuszenia
u(t)
i odpowiedzi
y(t).
z
( )
t
=
A
0
z
( )
+
B
0
u
( )
+
B
1
y
( )
t
2.3
( )
( )
( )
v
t
=
C
0
z
t
+
C
1
y
t
2.4
˛ - wektor odpowiedzi obserwatora, A
0
, B
0
, B
1
,
C
0
, C
1
– macierze o wymiarach
( ) ( )
z
t
˛
n
-
r
- wektor stanu
( )
v
t
n
,
( )
m
,
( )
r
,
( )
n
-
r
·
n
-
r
n
-
r
·
n
-
r
·
n
·
n
-
r
,
n
·
oraz stałych niezależnych od czasu elementach.
Przyjmujemy macierz H o wymiarach
(n-r)xn
o stałych i niezależnych od czasu
elementach. Oznaczamy
( ) ( )
t
=
z
t
-
Hx
( )
t
2.5
Po podstawieniu do równania 2.5 równań 2.1 i 2.3 otrzymujemy
Zakład Automatyki E – 32
5
&
&
t
t
gdzie
( )
r
e
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl