Odpowiedzi do teorii

Odpowiedzi do teorii, politechnika krakowska, algebra

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.
Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
Jeżeli f:A→B, g:B→C to (g ◦ f):A→C zdefiniowane wzorem
∀
aϵA (g ◦ f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem
odwzorowań
2.
Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
Niech f:A→B , g:B→C - bijekcje wtedy (g ◦ f)
-1
=f
-1
◦ g
-1
Dowód:
(g ◦ f)
-1
(c)=a
⇔
(g ◦ f)(a)=c
⟺
f(a)=b ʌ g(b)=c
(f
-1
◦ g
-1
)(c)=a
1
⟺
f
-1
(g
-1
(c))= a
1
⟺
g
-1
(c)=f(a
1
)
⟺
c=g(f(a
1
))=(g◦f)(a
1
)
⟹
a=a
1
⟹
f
-1
◦ g
-1
=(g◦f)
-1
3.
Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie g:B→A takie, że
∀
bϵB g(b)=a, f(a)=b
⇔
g=f
-1
nazywamy odwrotnym do danego
4.
Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
Niech
z
=x
+y
i
,
z
=x
+y
i
,
|z
|
=|z
|
=m
|z
∗z
|=|x
+y
i∗x
+y
i
|=|(
x
∗x
−
y
∗
y
)+(x
∗y
+x
∗y
)i|=
(
x
∗x
−
y
∗y
)
+
(
x
∗y
+x
∗y
)
=
x
∗x
+y
∗y
+x
∗y
+x
∗y
=
(
x
+y
)(
x
+y
)
=m∗m=m
5.
Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn
dwóch liczb w tej postaci.
|z|*e
iϕ
- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:
|z|- moduł liczby z
e- liczba Eulera
i- jednostka urojona
ϕ-argument
|z
|∗e
∗|z
|∗e
=|z
|∗|z
|∗e
(
)
6.
Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej .
cosφ=
e
=cos
(
−φ
)
+sin
(
−φ
)
∗i
⟺
e
=cosφ+sinφ∗i
e
−cosφ=sinφ∗i
e
=cos
(
φ
)
−e
+cosφ
e
=cos
(
φ
)
−sin
(
φ
)
∗i
⟺
⎧
e
−
e
+e
⎧
sinφ=
e
−
e
2i
cosφ=
e
+e
2
2
=sinφ∗i
cosφ=
e
+e
2
⟺
⟺
⎨
⎨
⎩
⎩
e
=0
⇒
α
1
=...=α
n
=0
Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest
≠0. W tym wypadku:
1 4
2 3
≠0,
−2 4
3 −1
≠0
⟹
liniowo niezależne
8.
Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (ē
1
,...,ē
n
) liniowo niezależnych, które generują daną
przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych
,
sinφ=
e
=cosφ+sinφ∗i
7.
Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?
liniowo niezależne gdy
∀
α
1
,...,α
n
ϵK
∑ α
2 −1
≠0,
1 −2
9.
Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?
Niech X,Y - przestrzenie wektorowe, (ē
1
,...,ē
n
) - baza w X, (Ē
1
,...,Ē
m
) - baza w Y
T: X→Y - odwzorowanie liniowe.
=
a
. Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach:
a
a
… a
⋮
a
a
⋮
a
⋮
…
⋮
a
=A
10.
Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.
X,Y,Z - przestrzenie wektorowe, , (ē
1
,...,ē
n
) - baza w X, (Ē
1
,...,Ē
m
) - baza w Y, (
Ɛ
,...,
Ɛ
) - baza w Z
T:X→Y, S:Y→Z, (S◦T):X→Z -odwzorowania liniowe, A- repr. odwz. T, B - repr. odwz. S
(S◦T)(
̅
)=S(T(
̅
)), Niech C repr. macierz. odwz. (S◦T)
∀
jϵ{1,...,n} T(ē
j
)=
a
E
(S◦T)(ē
j
)=S(T(ē
j
))=S(
a
Ɛ
E
)=
a
S(E
)
=
a
Ɛ
=
( b
a
=
c
Ɛ
c
kj
=
b
a
C=B*A
11.
Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.
Niech A – macierz n
x
m, B- macierz m
x
k
(A*B)
T
=B
T
*A
T
Dowód:
C=A*B, c
ij
=
a
b
C
T
=(c
ji
)
c
ij
=
a
b
⟹c
= a
b
= b
a
12.
Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.
Niech A, B – macierze n
x
n
det(A*B) = detA*detB
13.
Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy
Niech A –macierz n
x
n
∗
gdzie i=1,2,…,n
A
ij
=
(−1)
∗
– dopełnienie algebraiczne elementu a
ij
M
ij
- minor macierzy A
14.
Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera
k=1,2,…,n
n – liczba niewiadomych
x
k
– k-ta niewiadoma
W- wyznacznik główny macierzy A kwadratowej, nieosobliwej
Wx
k
– Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim k-tej kolumny kolumną
wyrazów wolnych
a
… a
∀
iϵ{1,...,m} S(Ē
i
)=
∑
b
∑ b
)Ɛ
15.
Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.
x
k
=
16.
Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.
Macierz A n
x
n nieosobliwa, B
-1
=A
=
||
i,j=1,..., n gdzie
=element macierzy A
17.
Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A. Rząd macierzy
A
m x n
≤ min{m, n}
18.
Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?
A – macierz m
x
n (niezerowa, jeśli zerowa to r(A)=0). Liczymy podwyznaczniki macierzy A stopnia k dla
k=min{m,n},…,1 do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy stopień tego wyznacznika
19.
Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.
r(A*B) ≤ min{r(A), r(B)}
20.
Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego.
=
A
̅ =
Powyższy układ ma conajmniej jedno rozwiązanie
⇔
r(A) = r(Au)
Dowód:
r(A) = r(Au)
⇒
kolumna ӯ jest liniowo zależna od pozostałych
⇒∃
α
1
,…, α
n
∑
=
j = 1,…, m
=
j=1 ,…, m – układ równań
r(A)≠r(Au)
⇒
kolumna ӯ jest liniowo niezależna od pozostałych
⇒
ӯ nie jest kombinacą linową
=
⇔
zadany układ równań nie ma rozwiązania
21.
Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny
wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić.
=
A
̅ =
Powyższy układ posiada rozwiązania
∀є⟺r(A)=m
Dowód:
r(A)=m⟹r(Au)=m
r(A)<m
⟹∃dlaktóregor(Au)>r(A)⟹niemarozwiązania
22.
Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.
detA*detA
-1
=1
det A
-1
=
wynika to z definicja macierzy odwrotnej
A*A
-1
=
23.
Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.
(A
-1
)
T
=(
||
* D
T
)
T
=
||
* D
24.
Jak określamy macierz przejścia z bazy (ej) do bazy (ei’)?
X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(ē
1
,…, ē
n
) – „stara” baza X
(ē
1
’,…, ē
n
’) – „nowa” baza X
Niech ē
j
=
, wtedy macierz A jest macierzą przejścia
A=
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
∗
+⋯+
∗
=
⋮
∗
+⋯+
∗
=
∗
+⋯+
∗
=
⋮
∗
+⋯+
∗
=
25.
Podać związki miedzy współrzędnymi wektora w „starej” i „nowej” bazie.
X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(ē
1
,…, ē
n
) – „stara” baza X
(ē
1
’,…, ē
n
’) – „nowa” baza X
T- odwzorowanie liniowe
T(
̅
) = T(
) =
’ =
(
)
’
x
i
'=
26.
Podać związki miedzy reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w „starej” i „nowej” bazie.
̅ =∑
=∑
′
′
=
∑
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
=
27.
Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego?
T, T’ – macierze n
x
n
Jeżeli istnieją macierze nieosobliwe A i B takie, że T’=BTA
-1
, to macierze Ti T’
nazywamy równoważnymi
Ich rzędzy są sobie równe r(T) = r(T’)
28.
Kiedy macierz nazywamy ortogonalną?
Macierz A kwadratową nieosobliwą nazywamy ortogonalną jeśli A
-1
= A
T
29.
Podać i uzasadnić własności macierzy ortogonalnej.
a) A
T
=A
-1
(wynika z definicji)
b) det Aє{-1, 1}
det(AA
T
) =detA*det(A
T
)
detA*det(A
T
)=det
=1
det(A
T
)=detA
⟹
(detA)
2
=1
c) Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną
(AB)*(AB)
T
=A*B*B
T
*A
T
=A*A
T
=
30.
Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy 3x3. Dlaczego jego współczynniki nazywamy
niezmiennikami?
−
−
−
=−
+
∗
−
∗+
Współczynniki
,
,
nazywamy
Niezmiennikami ponieważ są one stałe w trakcie przekształceń
31.
Co to są wartości i wektory własne macierzy?
Niech A – macierz n
x
n, wektor
w
≠0 i liczbę λ takie, że A*
w
= λ*
w
nazywamy odpowiednio wektorem
własnym i wartością własną
32.
Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej.
a) Macierz n
x
n ma n wartości własnych rzeczywistych
b)Niech λ
i
, λ
j
– wartości własne A,
w
i
,
w
j
– odpowiadające im wektory własne A. Wtedy:
- jeżeli λ
i
≠ λ
j
to
w
i
⟘w
j
- jeżeli λ
i
= λ
j
to
∀
α,β
w
=α
w
i
+ β
w
j
, jeżeli
w
≠0 to
w
jest wektorem własnym
c)W układzie własnym ortonormalnym macierz A ma postać diagonalną a na przekątnej głownej są wartości
własne
d) Jeżeli λ
1
≤ λ
2
≤ … ≤ λ
n
- wartości własne A to w dowolnym układzi ortonormalnym
∀
i
λ
1
≤ a
ii
≤ λ
n
’
33.
Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?
X- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
Odwzorowanie liniowe f:X→K nazywamy formą liniową
⇔
odwzorowanie a:X
x
X→K nazywamy formą
dwuliniową jeśli:
a)
∀x
ϵX a(
x
,
⦁
):X→K jest formą liniową
b)
∀x
ϵX a (
⦁
,
x)
:X→K jest formą liniową
Reprezentacja macierzowa formy dwuliniowej:
Niech (ē
1
,…, ē
n
)- baza przestrzeni X; a: X
x
X →R – forma dwulionowa
a(
x
,
y
) =
(a
ij
) i,j = 1,..,n
34.
Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?
Formę dwuliniową a:X
x
X→K nazywamy formą symetryczną jeśli
∀
x
,
y
ϵX a(
x
,
y
)=a
(y
,
x
)
antysymetryczną jeśli
∀
x
,
y
ϵX a(
x
,
y
)= - a
(y
,
x
)
35.
Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną.
A= A
s
+ A
a
gdzie A
s
– macierz symetryczna, A
a
- macierz antysymetryczna
Dowód:
A
s
=
(A-A
T
)
⟹A=
A+
A
T
+
A-
A
T
=A
36.
Co to jest forma kwadratowa?
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Formą kwadratową nazywamy odwzorowanie
ϕ:X

K dane wzorem q(
x
)=a(
x
,
x
)
37.
Podać definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej.
W układzi
e
własnym reprezentacja macierzowa ma postać ortogonalną czyli forma kwadratowa przyjmuje
postac: g(
)=
∑
. Każda forma kwadratowa ma symetryczna reprezentację macierzową
38.
Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, nieokreślona?
Formę kwadratową ϕ:X

R nazywamy określoną dodatnio, jeśli
∀xєX
x
≠
0
q(
x
)>0
Formę kwadratową ϕ:X

R nazywamy określoną ujemnie, jeśli
∀xєX
x
≠
0
q(
x
)<0
Formę kwadratową ϕ:X

R nazywamy nieokreśloną, jeśli
∃x
,
y
єX q(
x
)<0<q(
y
)
39.
Jak można zbadać określoność formy kwadratowej?
Poprzez sprawdzenie znaków wartości własnych reprezentacji macierzowej formy kwadratowej
40.
Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki w tej postaci?
W układzie własnym macierzy
(
)
forma kwadratowa ma postać kanoniczną g(x)=
gdzie α
i
– wartość własna macierzy
(
)
41.
Podać twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy.
Wszystkie wartości własne macierzy A n
x
n są dodatnie
⟺
∀
kє{1,..., n} |A
k
|>0
Wszystkie wartości własne macierzy A n
x
n są ujemne
⟺
∀
kє{1,..., n} (-1)
n
|A
k
|>0
42.
Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.
a
○b
=|
a
||
b
| cos
⦟
(
a
,
b
) dla
a
,
b
≠ 0
a
○
b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
Własności iloczynu skalarnego:
1)
∀
a
,
b
,c
(
a
+
b
)○
c
=
a
○
c
+
b
○
c
2)
∀
a
,
b
∀
αєR (α
a
)○
b
= α(
a○b
) =
a
○(α
b
)
3)
∀
a
,
b
b
○
a
=
a
○
b
4)
∀
a
a
○
a
=
|a|
≥
0
5)
∀
a
a
○
a
= 0
⟺
a =
0
6)
∀
a
,
b
a
○
b
= 0
⟺
a
= 0 v
b
= 0 v
a⟘b
,
(A+A
T
), A
a
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl