Ochrona1lsk

Ochrona1lsk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Def.1.Funkcj¡pierwotn¡funkcjifnadanymprzedzialeInazywamydowoln¡
funkcjƒF,kt
ó
radlax2Ispe“niawarunek
F
0
(x) =f(x):
Przyk“ad:1.Funkcjasgnxniemafunkcjipierwotnejna»adnymprzedziale
zawieraj¡cym0.Funkcjearcsin iarccoss¡funkcjamipierwotnymifunkcji
f(x) =
1
1.G(x) =F(x) +Cjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaIdladowolnejsta“ej
C2
R
,
2.Ka»d¡funkcjƒpierwotn¡mo»nazapisa¢wpostaciF(x) +C.
Tw.2.Ka»dafunkcjaci¡g“anaImafunkcjƒpierwotn¡naI.
Uwaga1.Nieka»dafunkcjapierwotnadanejfunkcjielementarnejjestelemen-
tarna!Przyk“adowo:e
x
2
,
sinx
x
,
p
1 +x
3
, cosx
2
.
Def.2.Ca“k¡nieoznaczon¡funkcjifnazywamyzbi
ó
rfunkcji:
Z
f(x)dx:= fF(x) +C:C2
R
g;
gdzieFjestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡.Piszemykr
ó
tko:
R
f(x)dx=F(x) +C.
Wn.1. 1. [
R
f(x)dx]
0
=f(x),
2.
R
f
0
(x)dx=f(x) +C.
Listaca“ekfunkcjielementarnych
1.
R
0dx=C
2.
R
x
r
dx=
x
r+1
lna
+Cdla0<a6= 1;(
R
e
x
dx=e
x
+C)
5.
R
sinxdx= cosx+C
6.
R
cosx= sinx+C
7.
R
dx
sin
2
x
= ctgx+C
8.
R
dx
cos
2
x
= tgx+C
9.
R
dx
1+x
2
= arctgx+C
1
p
1x
2
.Mamyjednakzale»no–¢: arcsinx=
2
arccosx.
Tw.1.NiechFbƒdziefunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaprzedzialeI.W
ó
wczas:
r+1
+Cdlar6= 1
3.
R
d
x
= lnjxj +C
4.
R
a
x
dx=
a
x
10.
R
dx
p
1x
2
= arcsinx+C
Tw.3.Je»elifigmaj¡funkcjepierwotne,to
1.
R
(f(x) g(x))dx=
R
f(x)dx+
R
g(x)dx,
2.
R
cf(x)dx=c
R
f(x)dx.
Przyk“ady:1.Wyznaczy¢ca“ki:
Z
x
2
x+ 1
p
x
dx
2.
R
ctg
2
xdx
3.
R
3
x
5
2x
dx
Ca“kowanieprzezczƒ–ci
Tw.4(Oca“kowaniuprzezczƒ–ci).Je»elifigmaj¡ci¡g“epochodne,to
Z
Z
f(x)g
0
(x)dx=f(x)g(x)
f
0
(x)g(x)dx:
Przyk“ady:2. 1.
R
xsinxdx
2.
R
lnxdx
3.
R
sinxe
x
dx
4.
R
dx
(1+x
2
)
2
Ca“kowanieprzezpodstawienie
Tw.5(Oca“kowaniuprzezpodstawienie).Je»eli
R
f(t)dt=F(t) +C;to
Z
f('(x))'
0
(x)dx=F('(x)) +C:
(Ofi'
0
zak“adamy,»es¡ci¡g“e.)
Wn.2.Je»eli
R
f(x)dx=F(x) +Cia6= 0,to
Z
1
a
F(ax+b) +C:
f(ax+b)dx=
Wn.3.
Z
f
0
(x)
f(x)
dx= lnjf(x)j +C:
Przyk“ady:3. 1.
R
(2x 5)
7
dx
2
1.
a
2
+x
2
=
1
a
arctg
a
+C
3.
R
cos
3
xdx
4.
R
dx
2+
p
x
dx
5.
Rp
a
2
x
2
dx=
1
2
[x
p
a
2
x
2
+a
2
arcsin
a
] +C
6.
R
cos
4
xdx
Przydatnewzorytrygonometryczne
cos
2
x=
1 + cos 2x
2
; sin
2
x=
1 cos 2x
2
U“amkiproste
I :
A
(xa)
n
; II :
Bx+C
(px
2
+qx+r)
n
(<0)
Tw.6(Orozk“adziefunkcjiwymiernejnau“amkiproste).Ka»dafunkcja
wymiernaw“a–ciwarozk“adasiƒjednoznacznienasumƒu“amk
ó
wprostych.Je»eli
wmianownikuwystƒpujeczynnik(xa)
n
,towrozk“adzienale»yuwzglƒdni¢:
xa
+
A
2
(xa)
2
+:::+
A
n
(xa)
n
:
Je»eliwmianownikuwystƒpujeczynnik(px
2
+qx+r)
n
,towrozk“adzienale»y
uwzglƒdni¢:
px
2
+qx+r
+
B
2
x+C
2
B
1
x+C
1
(px
2
+qx+r)
2
+:::+
B
n
x+C
n
(px
2
+qx+r)
n
:
Przyk“ady:4. 1.
R
x+a
dx=Alnjx+aj +C
2.
R
A
(n1)(x+a)
n
1
+C
A
3.
R
4x
x
2
+2x+5
dx
4.
R
x
3
+x+1
x
4
+x
2
dx
3
2.
R
dx
A
1
(x+a)
n
dx=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl