Ochrona2lsk

Ochrona2lsk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ca“kowaniefunkcjitrygonometrycznychpostaci
R
R(sin x; cos x)dx
Funkcjƒwymiern¡dw
ó
chzmiennychR(u;v)sk“adamyzfunkcjami sin; cos
podstawiaj¡c
u = sin x; v = cos x:
Warunek Podst. Dodatkoweinformacje
R(u;v) = R(u;v) t = cos x sin x =
p
1 t
2
,dx =
p
dt
1 t
2
R(u;v) = R(u;v) t = sin x cos x =
p
1 t
2
; dx =
p
dt
1 t
2
R(u;v) = R(u;v) t = tgx sin x =
p
1 + t
2
; cos x =
t
p
1 + t
2
,
1
dx =
dt
1 + t
2
Wostateczno–ci t = tg
x
2
sin x =
2t
1 + t
2
,cos x =
1 t
2
1 + t
2
,
dx =
2dt
1 + t
2
Przyk“ady:1. 1.
R
sin
3
x cos
2
xdx
2.
Z
dx
cos x
Z
2 sin x + 3 cos x
sin
2
x cos x + 9 cos
3
x
dx
3.
Z
dx
1 + sin x + cos x
dx
4.
Wa»neca“kizniewymierno–ciami
1.
x
2
+ k
= lnjx +
p
x
2
+ kj + C
Z
p
x
2
+ kdx =
2.
2
[x
p
x
2
+ k + k lnjx +
p
x
2
+ kj] + C
Z
dx
p
3.
a
2
x
2
= arcsin
x
a
+ C
Przypomnienie:
1
Z
dx
p
1
a
2
x
2
+ a
2
arcsin
a
] + C
Og
ó
lniejwwyra»eniu
R
R(
p
a
2
x
2
)dxpodstawiamyx = a sin t.
a
2
x
2
dx =
1
2
[x
p
Ca“kaoznaczonaRiemanna
P = fx
0
;x
1
;:::;x
n
g(gdziea = x
0
x
1
::: x
n
= b)
podzia“przedzi-
a“u[a;b]; x
i
= x
i
x
i1
d“ugo–¢i-tegoodcinkapodzia“u; x
i
-punkty
po–rednie(x
i
2 [x
i
;x
i1
]);(P) = maxfx
i
: 1 i ng
–rednicapodzia“u
De
nicja1.
Z
b
n
X
f(x)dx := lim
(P)!0
f(x
i
)x
i
;
a
i=1
oilegranicaistniejeiniezale»yodsposobupodzia“uPorazwyborupunkt
ó
w
po–rednichx
i
.
Uzupe“nienie(rozszerzenie)de
nicjica“ki
Z
a
Z
a
Z
b
f(x)dx := 0;
f(x)dx :=
f(x)dx:
a
b
a
Funkcjƒ,dlakt
ó
rejistniejeca“kaRiemannana[a;b]nazywamyfunkcj¡
ca“kowaln¡na[a;b].
Z
b
f(x)dx-poletrapezukrzywolin-
iowegozuwzglƒdnieniemznakuwzale»no–ciodpo“o»eniaobszaruwzglƒ-
demosiOx.
a
Uwaga1.Nieka»dafunkcjaograniczonajestca“kowalnanp.funkcjaDirichleta
nadowolnymprzedziale[a;b]niejestca“kowalna.
Twierdzenie1.Je–lifunkcjafjestograniczonanaprzedziale[a;b]imawtym
przedzialesko«czon¡ilo–¢punkt
ó
wnieci¡g“o–ciI-gorodzaju(tzn.mawka»dym
znichobiegranicejednostronne),tojestca“kowalna.
Wz
ó
rNewtona-Leibnizaifunkcjag
ó
rnejgranicyca“kowania
Twierdzenie2(Newtona-Leibnitza).Je»elifunkcjafjestci¡g“ana[a;b],to
Z
b
f(x)dx = F(b) F(a);
a
gdzieFjestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcji f.
De
nicja2.Niechfbƒdzieca“kowalnana[a;b].Funkcjƒ
Z
x
F(x) :=
f(t)dt
a
okre–lon¡naprzedziale[a;b]nazywamyfunkcj¡g
ó
rnejgranicyca“kowania.
2
4.
R
p
Interpretacjageometrycznaca“ki
Twierdzenie3. 1.Funkcjag
ó
rnejgranicyca“kowaniajestci¡g“a.
2.Je»elifjestci¡g“ana[a;b],tofunkcjag
ó
rnejgranicyca“kowania
Z
x
F(x) =
f(t)dt
a
jestr
ó
»niczkowalnana[a;b]iF
0
(x) = f(x).
Z
Przyk“ady:2. 1.
sin xdx
6
Z
e
dx
x
2.
1
3.Wyznaczy¢funkcjƒg
ó
rnejgranicyca“kowaniadlafunkcji f(x) = signx
naprzedziale[1; 1] inastƒpniefunkcjƒg
ó
rnejgranicyca“kowaniadla
otrzymanejfunkcji.
3
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl