Ochrona3Lsk

Ochrona3Lsk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Twierdzenie 1.Niechfunkcjef;gb¦d¡całkowalnena[a:b].Wówczas:
Z
b
Z
b
Z
b
1.
(f(x) g(x))dx =
f(x)dx
g(x)dx,
a
a
a
Z
b
Z
b
2.
cf(x)dx = c
f(x)dx,
a
a
Z
b
Z
c
Z
b
3.
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dxdladowolnegoc 2 [a;b],
a
a
c
Z
b
Z
b
4.Je»elif(x) g(x)dlaka»degox 2 [a;b],to
f(x)dx
g(x)dx.
a
a
Z
2
Z
1
Przykłady:1. 1.
j1 x
2
jdx,2.Wykaza¢,»e
e
x
2
dx >
e 1
e
0
0
Podstawienie w całce oznaczonej
Twierdzenie 2.Je»eli:
1.' : [;] ! [a;b]maci¡gł¡pochodn¡na[;],
2.'() = a,'() = b,
3.funkcjafjestci¡głana[a;b],to
Z
b
Z
f(x)dx =
f('(t))'
0
(t)dt:
a
Z
2
p
4 x
2
dx
Przykłady:2. 1.
0
Z
1
2.
x
p
1 + xdx
0
Definicja 1.Warto±ci¡±redni¡funkcjifcałkowalnejnaprzedziale[a;b]nazy-
wamyliczb¦
Z
b
1
ba
f(x)dx:
a
Twierdzenie 3(Całkoweowarto±ci±redniej).Je»elifjestci¡głana[a;b],to
istniejec 2 [a;b],taka»e
Z
b
f(x)dx = (ba)f(c):
a
Przykład:1.Znale¹¢punktc 2 [1; 4],wktórymfunkcjaf(x) =
p
x
osi¡ga
warto±¢±redni¡.
1
Je»elifmaci¡gł¡pochodn¡na[a;b],todługo±¢łukukrzywej = f(x;f(x)) : x 2
[a;b]gwyra»asi¦wzorem:
Z
b
p
1 + [f
0
(x)]
2
dx:
jj =
a
Przykład: f(x) =
p
1 x
2
dlax 2 [0;
1
2
].
Obj¦to±¢bryłypowstałejwwynikuobrotudokołaOxobszaruogranic-
zonegoosi¡Oxiwykresemfunkcjifcałkowalnejna[a;b]:
Z
b
V =
f
2
(x)dx:
a
Przykład: f(x) = sin x,x 2 [0;].
PolepowierzchnipowstałejwwynikuobrotudokołaOxwykresufunkcji
f(oci¡głejpochodnej)dlax 2 [a;b]:
Z
b
f(x)
p
1 + [f
0
(x)]
2
dx:
jj = 2
a
Przykład: f(x) = x
3
,x 2 [0; 1].
Całki niewła±ciwe
Definicja 2.Dlafokre±lonejna[a;1]lub[1;b]całk¦okre±lamywzorem:
Z
1
Z
t
f(x)dx := lim
t!1
f(x)dx
a
a
lubodpowiednio
Z
b
Z
b
f(x)dx := lim
s!1
f(x)dx:
1
s
Ponadto
Z
1
Z
b
Z
1
f(x)dx :=
f(x)dx +
f(x)dx:
1
1
b
Z
1
dx
x
2
Przykłady:3. 1.
2
Z
1
d
p
x
2.
4
Z
1
dx
4 + x
2
3.
1
2
 Z
1
dx
x
p
jestzbie»nagdyp > 1irozbie»nagdyp 1.
Wn. 1.
a
Definicja 3.Dlafci¡głejinieograniczonejna[a;b)lub(a;b]całk¦okre±lamy
wzorem:
Z
b
Z
t
f(x)dx := lim
t!b
f(x)dx
a
a
lubodpowiednio
Z
b
Z
b
f(x)dx := lim
s!a
+
f(x)dx:
a
s
Z
b
dx
x
p
jestzbie»nagdyp < 1irozbie»nagdyp 1.
Przykład:2.
R
e
Wn. 2.
o
0
ln xdx.
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl