Ochrona4lsk

Ochrona4lsk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przestrze«probabilistyczna(;Z;P):
1.
zbi
ó
rzdarze«elementarnych.
2.Z
rodzinazdarze«czylirodzinapodzbior
ó
wzbioruspe“niaj¡cawarunki:
A1: 2Z(zdarzeniepewne),
A2: A 2Z ! A
0
:= nA 2Z(zdarzenieprzeciwne),
A3: A
1
;A
2
;A
3
;::: 2Z ! (A
1
[A
2
[A
3
[:::) 2Z(przeliczalnasumazdarze«
jestzdarzeniem).
3. P
prawdopodobie«stwoczylifunkcjaP : Z !
R
(przyporz¡dkowuj¡ca
zdarzeniomliczbyrzeczywiste)spe“niaj¡cawarunki:
P1: P(A) 0
P2: P() = 1
P3:Je–liA
1
;A
2
;A
3
;::jestdowolnymci¡giemzdarze«paramiroz“¡cznych,to
P(A
1
[A
2
[A
3
[:::) = P(A
1
) + P(A
2
) + P(A
3
) + :::.
Elementarnew“asno–ciprawdopodobie«stwa
1. P(;) = 0,
2. A B ! P(A) P(B),
3. P(A) 1,
4. A B ! P(BnA) = P(B) P(A),
5. P(A) + P(A
0
) = 1,
6. P(A[B) = P(A) + P(B) P(A\B),
7.Je–lijestprzeliczalnyidlaka»dego!
i
2 okre–lonejestprawdopodobie«stwo
p
i
:= P(f!
i
g),gdziep
1
+ p
2
+ p
3
+ ::: = 1,to
P(A) = p
i
1
+ p
i
2
+ p
i
3
+ :::dlaA = f!
i
1
;!
i
2
;!
i
3
;:::g.
8.Je–lizawieranzdarze«elementarnychojednakowychprawdopodobie«st-
wach(zdarze«jednoelementowych),to
jj
=
n
,gdziek = jAjoznaczaliczebno–¢zbioruA.
1
P(A) =
jAj
Prawdopodobie«stwowpodzbiorach
R
n
Je–li
jestpodzbiorem
R
n
,
zbi
ó
rzdarze«Zsk“adasiƒzezbior
ó
w,kt
ó
rymmo»naprzyporz¡dkowa¢
miarƒ(A)(np.d“ugo–¢,pole,objƒto–¢,odpowiedniodlan = 1; 2; 3),
()
,to(;Z;P)jestprzestrzeni¡probabilistyczn¡.
Przyk“ady:1. 1.Windazczteremaprzypadkowymiosobamimo»ezatrzy-
ma¢siƒnaka»dymz10-ciupiƒter.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»e
ka»daosobawysi¡dzienainnympiƒtrze?
2.Roztargnionaosobapr
ó
bujeotworzy¢drzwijednymzczterechkluczy.Ni-
estetypoka»dejpr
ó
biekluczwracadopƒku.Jakiejestprawdopodobie«stwo,
»eilo–¢pr
ó
bprzekroczy4?
3.Zak“adamy,»esp
ó
„nieniewyk“adowcyjestprzypadkow¡liczb¡minutz
przedzia“u[0,15].Jakiejestprawdopodobie«stwo,»estudencistrac¡“¡cznie
ponad20minutzdw
ó
chwyk“ad
ó
w?
Prawdopodobie«stwowarunkowe
De
nicja1.Prawdopodobie«stwemzdarzeniaBpodwarunkiem,»ezasz“o
zdarzenieAnazywamyliczbƒ:
P(BjA) :=
P(A\B)
P(A)
oileP(A) > 0.
Wn.1. 1. P(A\B) = P(A) P(BjA);
2. P(A\B\C) = P(A) P(BjA) P(CjA\B);
3. P(A
1
\A
2
\:::\A
n
) = P(A
1
)P(A
2
jA
1
):::P(A
n
jA
1
\A
2
\:::\A
n1
);
De
nicja2. 1.ZdarzeniaA;Bnazywamyniezale»nymigdyP(A \ B) =
P(A) P(B)
2.ZdarzeniaA
1
;A
2
;:::;A
n
nazywamywzajemnieniezale»nymigdyP(A
i
1
\
A
i
2
\ ::: \ A
ik
) = P(A
i
1
) P(A
i
2
) ::: P(A
ik
)dladowolnegopodci¡gu
A
i
1
;A
i
2
;:::;A
ik
.
Twierdzenie1(Oprawdopodobie«stwieca“kowitym).Je»elizdarzeniaA
1
;A
2
;:::;A
n
spe“niaj¡warunki:
1. A
i
\A
j
= ;dlai 6= j,
2. A
1
[A
2
[A
n
= ,
3. P(A
i
) 6= 0dlai = 1; 2;:::;n,
toP(B) = P(BjA
1
) P(A
1
) + P(BjA
2
) P(A
2
) + ::: + P(BjA
n
) P(A
n
).
2
P(A) =
(A)
Twierdzenie2(Wz
ó
rBayesa).Je»eliP(B) 6= 0,to
P(A
k
jB) =
P(A
k
) P(BjA
k
)
P(B)
:
Przyk“ad:1.Pewnachorobawystƒpujeu0; 2%og
ó
“uludno–ci.Przygotowano
testdojejwykrycia.Testdajewynikpozytywnyu97%chorychi1%zdrowych.
Obliczy¢prawdopodobie«stwotego,»e
1.Testdawynikpozytywnyulosowowybranejosoby.
2.Osoba,ukt
ó
rejtestda“wynikpozytywnyjestrzeczywi–ciechora.
Odpowiedzi:(1)0,012;(2)0,163.
Zmiennelosowe
De
nicja3.Dladowolnejprzestrzeniprobabilistycznej (;Z;P)zmienn¡losow¡
nazywamyfunkcjƒ
X : !
R
(przyporz¡dkowuj¡c¡zdarzeniomelementarnymliczbyrzeczywiste)spe“niaj¡c¡
warunek:
f! : X(!) < xg2Z
dladowolnegox 2
R
.
De
nicja4.Dystrybuant¡zmiennejlosowejXnazywamyfunkcjƒF
X
:
R
!
[0; 1]okre–lon¡wzorem
F
X
(x) = P(X < x):
W“asno–cidystrybuanty
1. 0 F(X) 1;
x!1
F(x) = 0; lim
x!+1
F(x) = 1;
3. Fjestniemalej¡ca;
4. Fjest(conajmniej)lewostronnieci¡g“a;
5. P(a X < b) = F(b) F(a);
6. P(X = x
0
) = lim
x!x
+
0
F(x) F(x
0
);
7.Dowolnafunkcjaspe“niaj¡cawarunki2,3,4jestdystrybuant¡pewnejzmi-
ennejlosowej.
3
2. lim
Zmiennelosowetypuskokowego
De
nicja5.M
ó
wimy,»ezmiennalosowaXjesttypuskokowegogdyistnieje
przeliczalny(sko«czonylubniesko«czony)zbi
ó
rjejwarto–ci W
X
= fx
1
;x
2
;:::g,
taki»e
X
X
X
p
i
= 1 (
p
i
= 1) (
p
i
= 1)
x
i
2W
X
i=1
i=1
gdziep
i
:= P(x
i
).
Dystrybuantazmiennejtypuskokowegookre–lonajestwzorem:
F(x) =
X
x
i
<x
p
i
:
Przyk“ad:2.Sporz¡dzi¢wykresfunkcjirozk“aduprawdopodobie«stwaidys-
trybuantyzmiennej,kt
ó
ralosowowybranemustudentowiBiotechnologiiprzy-
porz¡dkowujeocenƒzmatematykije–liwyniki(Itermin)egzaminuby“ynastƒpu-
j¡ce:
bdb 10 os:; db 10 os:; dst 30 os:; ndst 50 os:
Zmiennelosowetypuci¡g“ego
De
nicja6.M
ó
wimy,»ezmiennalosowaXjesttypuci¡g“ego,gdyprzyjmuje
wszystkiewarto–cirzeczywistezpewnegoprzedzia“uiistniejenieujemnafunkcja
f,taka»edystrybuantaXzmiennejwyra»asiƒwzorem:
Z
x
F(x) =
f(t)dt:
1
Funkcjƒfnazywamygƒsto–ci¡zmiennej X.M
ó
wimy,»edanyjestrozk“ad
zmiennejtypuci¡g“ego,gdydanajestjejgƒsto–¢lubdystrybuanta.
Funkcjagƒsto–cijestzawszenieujemna.
Dystrybuantazmiennejtypuci¡g“egojestfunkcj¡ci¡g“¡.
Z
+1
f(x)dx = 1.
1
Z
b
P(a < X < b) =
f(x)dx = 1
a
A(1 x
2
) dlax 2 [1; 1]
0 dlax 2 [1; 1]
Wyznaczy¢
warto–¢sta“ejA,dystrybuantƒF(x)iprawdopodobie«stwazdarze«: P(X > 0),
P(
2
< X <
2
).
4
Przyk“ad:
ZmiennaXmagƒsto–¢ f(x) =
De
nicja7.M
ó
wimy,»ezmiennelosoweXiYs¡niezale»ne,gdydladowol-
nychx;y 2
R
niezale»nes¡zdarzeniafX < xgifY < yg,tzn.gdy
P(X < x^Y < y) = P(X < x) P(Y < y):
M
ó
wimy,»eX
1
;X
2
;:::;X
n
jestci¡giemniezale»nychzmiennychlosowych,gdy
dladowolnychx
i
(i = 1;:::;n)zachodzi:
P(X
1
< x
1
^X
2
< x
2
^:::^X
n
< x
n
) = F
X
1
(x
1
) F
X
2
(x
2
) :::F
X
n
(x
n
):
Charakterystykiliczbowe(parametry)zmiennychlosowych
De
nicja8.Warto–ci¡oczekiwan¡(–redni¡,warto–ci¡przeciƒtn¡,nadziej¡
matematyczn¡)zmiennejXtypuskokowegonazywamy:
E(X) :=
X
x
i
2W
X
x
i
p
i
azmiennejXtypuci¡g“ego:
Z
+1
E(X) :=
xf(x)dx:
1
W“asno–ci:
1. E(aX + b) = aE(X) + b; E(X + Y ) = E(X) + E(Y );
2. E(X Y ) = E(X) E(Y )je–liX;Ys¡niezale»ne.
De
nicja9.Wariancj¡zmiennejlosowejXnazywamy:
D
2
(X) := E[(X E(X))
2
] = E(X
2
) [E(X)]
2
:
Dlatypuskokowegomamy:
D
2
(X) =
X
x
i
2W
X
(x
i
m)
2
p
i
=
X
x
i
2W
X
x
i
p
i
m
2
adlatypuci¡g“ego:
D
2
(X) :=
Z
+1
(xm)
2
f(x)dx =
Z
+1
x
2
f(x)dxm
2
1
1
gdziem := E(X).
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl