Ochrona5lsk

Ochrona5lsk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Twierdzenie1.Je»eliX
1
;X
2
;:::;X
n
jestci¡giemniezale»nychzmiennychlosowych
ojednakowymrozk“adzienormalnymN(m;),tozmiennalosowa:
X:=
1
n
n
X
X
i
i=1
marozk“adnormalnyN(m;
p
n
).
Przyk“ad:1.Wiadomo,»ewzrost(wcm)mƒ»czyznzrocznika1989marozk“ad
normalnyN(177;5).Wylosowano16kartzdrowiaos
ó
bzztegorocznika.Jakie
jestprawdopodobie«stwo,»e–redniawzrostuobliczonanapodstawietychkart
bƒdziezawiera¢siƒwprzedziale(176;178)?Znamytylkoodchyleniestandard-
owe=
5
ichcemyoszacowa¢nieznan¡–redni¡.Losow
a
pr
ó
ba16-tukartda“a
–redni¡X=177.Zbudowa¢symetrycznywzglƒdemXprzedzia“,wkt
ó
rym,
zprawdopodobie«stwem0;95,zawierasiƒnieznana–redniaog
ó
“umƒ»czyznz
rocznika1989.
Populacjageneralna-zbi
ó
rdowolnychobiekt
ó
wnieidentycznychzewzglƒdu
nabadan¡cechƒX(zmienn¡losowaXprzyporz¡dkowujelosowemuobiek-
towiwarto–¢cechy).
Pr
ó
baprosta-losowowybranypodzbi
ó
rpopulacjigeneralnejdostƒpny
bezpo–redniejobserwacjizewzglƒdunabadan¡cechƒ(ci¡gniezale»nych
X
1
;X
2
;:::;X
n
zmiennychlosowychotymsamymrozk“adziecopopulacja
generalna).
Statystyka-dowolnafunkcjapr
ó
byprostejZ=f(X
1
;X
2
;:::;X
n
).
Estymator-statystyka
b
n
s“u»¡cadooszacowaniawarto–ciparametru
rozk“adupopulacjigeneralnej(zmiennejlosowej).
Estymatornazywamyzgodnym(zbie»nymstochastycznie)gdydladowol-
nego" >0zachodzi:
n!1
P(j
b
n
j < ")=1:
Estymatornazywamynieobci¡»onymgdy
E(
b
n
)=
aasymptotycznienieobci¡»onymgdy
n!1
E(
b
n
)=0
E(
b
n
)
d¡»ydo0wrazzewzrostemliczebno–cipr
ó
by.
1
lim
lim
tzn.obci¡»enie
 Najwa»niejszeestymatory
‘
redniazpr
ó
by
n
X
X:=
1
n
X
i
i=1
jestzgodnyminieobci¡»onymestymatoremwarto–cioczekiwanej.Wariancjaz
pr
ó
by
n
X
s
2
=
1
n
(X
i
X)
2
i=1
jestzgodnymiasymptotycznienieobci¡»onymestymatoremwariancji.
bs
2
=
1
n1
n
X
(X
i
X)
2
i=1
jestzgodnyminieobci¡»onymestymatoremwariancji.
Rozk“adyprawdopodobie«stwastatystyk
De
nicja1.Rozk“ad
2
n
(chikwadrat)Pearsonaonstopniachswobody,to
rozk“adstatystyki:
De
nicja2.Rozk“adtStudentaonstopniachswobody,torozk“adstatystyki:
p
2
n
=n
gdzieXmarozk“adnormalnyN(0;1)izmienneXi
2
n
s¡niezale»ne.
Uwaga1.Rozk“
ady
2
n
it-St
udenta
s¡asymptotycznienormalne.Dok“adniej:
t=t
n
=
X
przyn ! 1,
p
2
2
n
! N(
p
2n1;1)it
n
! N(0;1).Wpraktycedlan 30
korzystamyzprzybli»e«rozk“ademnormalnym.Tablicepodaj¡dladanejilo–ci
swobodykwantyleb¡d„warto–cikrytyczne.
Przedzia“yufno–cidla–redniej
Napodstawiewynik
ó
wpr
ó
byprostejchcemyoszacowa¢nieznan¡warto–¢
oczekiwan¡badanejcechybuduj¡cprzedzia“,kt
ó
rypokrywatƒwarto–¢zdu»ym
prawdopodobie«stwem1nazywanympoziomemufno–ci.
Imodel:Populacjageneralnamarozk“adnormalnyoznanymodchyleniu
standardowym.
Statystyka
U=
X m
p
n
marozk“adN(0;1).
2
2
n
=X
2
1
+X
2
2
+:::+X
2
n
gdzieX
1
;X
2
;:::;X
n
s¡niezale»nymizmiennymiijednakowymrozk“adzienor-
malnymN(0;1).
P(X u
p
n
< m < X+u
p
n
)=1
gdzienjestliczebno–ci¡pr
ó
byu
jestkwantylemrzƒdu1
1
2
rozk“adu
N(0;1)(tzn.PjUj > u
=).
IImodel:Populacjageneralnamarozk“adnormalnyonieznanymodchyleniu
standardowym.Liczebno–¢pr
ó
byjestma“a(n 30).
Statystyka
t=
X m
s
p
n1=
X m
bs
p
n
marozk“adtStudentaon1stopniachswobody.
P(X t
p
n1
< m < X+t
p
n1
)=1
s
gdziet
jestkwantylemrzƒdu1
1
2
rozk“adutStudentaon1stopniach
swobody(tzn. Pjtj > t
=).
IIImodel:Populacjageneralnamadowolnyrozk“adosko«czonej–rednieji
wariancji.Pr
ó
bajestdu»a(n >30)
Statystyka
U=
X m
s
p
n
marozk“adN(0;1).
P(X u
p
n
< m < X+u
p
n
)=1
gdzienjestliczebno–ci¡pr
ó
byu
jestkwantylemrzƒdu1
1
2
rozk“adu
N(0;1)(tzn.PjUj > u
=).
Szeregrozdzielczy:
Uporz¡dkowaniewynik
ó
wdu»ejpr
ó
byprzezpodzia“zakresuzmienno–ciob-
serwowanejcechynaprzedzia“ytejsamejd“ugo–ci,tzw. przedzia“yklasowe,
kt
ó
res¡lewostronniedomkniƒte.Zamiastdok“adnychpojedynczychwynik
ó
w
podanes¡ilo–ciwynik
ó
w,kt
ó
rychwarto–cimieszcz¡siƒwdanymprzedziale,
tzw.liczebno–ciprzedzia“
ó
wn
i
.Estymatory–redniejiwariancjiwyznaczonena
podstawieszeregurozdzielczego:
X:=
1
n
k
X
x
i
n
i
s
2
=
1
n
k
X
(x
i
X)
2
n
i
i=1
i=1
3
s
gdziekjestilo–ciprzedzia“
ó
w,x
i
s¡–rodkamiprzedzia“
ó
w,n=
k
X
n
i
jest“¡czn¡
liczebno–ci¡pr
ó
by.
Przyk“ad:2.Wpewnymdo–wiadczeniufarmakologicznymbadasiƒutlenianie
tkankowew¡trobykr
ó
lik
ó
w.Dokonano40pomiar
ó
wtegoutlenianiaiotrzymane
wynikiprzedstawionowszeregurozdzielczym(podanajestilo–¢tlenuzu»ytego
wci¡gujednejgodzinyprzez100mgwilgotnejtkanki).
i=1
ilo–¢zu»ytegotlenu liczbapomiar
ó
w
1525 4
2535 6
3545 12
4555 9
5565 6
6575 3
Przyjmuj¡cwsp
ó
“czynnikufno–ci0,95oszacowa¢metod¡przedzia“ow¡–redni¡
ilo–¢zu»ywanegotlenu.
Przyk“ad:3.10wylosowanychzg“osze«kandydatekstartuj¡cychwkonkursie
MissPoloniada“onastƒpuj¡cewynikwzrostu(wcm):
171; 172; 179; 170; 180; 176; 176; 175; 172; 169:
Przyjmuj¡cwsp
ó
“czynnikufno–ci0,9oszacowa¢–redni¡wzrostuwszystkich
kandydatek.
Wyznaczanieliczebno–cipr
ó
byniezbƒdnejdouzyskaniazadanejdok“adno–ci
oszacowania–redniej.Zak“adamy,»epo“owad“ugo–ciprzedzia“u,niemo»e
przekroczy¢warto–ci d.
d
2
n >
t
2
bs
2
d
2
(n >1+
t
2
s
2
d
2
)
odpowiedniodlarozk“adunormalnegoi t-Studenta.Ilekartzg“osze«nale»y
dolosowa¢wostatnimprzyk“adziebyuzyska¢przedzia“od“ugo–ci2cm?
4
n >
u
2
2
środek liczebność n
i
x
i
(x
i
-X)
2
(x
i
-X)
2
n
i
20
4
80
576
2304
30
6
180
196
1176
40
12
480
16
192
50
9
450
36
324
60
6
360
256
1536
70
3
210
676
2028
sumy
40
1760
7560
średnia wariancja kwantyl
44
189
1,96
39,739535
<
m
<
48,26
11,276627
< s <
17,606
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl