Ochrona6sk

Ochrona6sk, Druki z przedmiotów, Matematyka, Sem.II, Wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Przedzia“yufno–cidlawariancji(iodchyleniastandardowego)
Dlapopulacjigeneralnejorozk“adzienormalnymN(m;)znieznanymi
parametramiszacujemywarto–¢wariancjinapodstawiewynik
ó
wn-elementowej
pr
ó
byprostej.
Imodel:Pr
ó
bama“a(n 30).Statystyka
2
=
ns
2
2
marozk“ad
2
Pearsonaon 1stopniachswobody.Dlaza“o»onego
poziomuufno–ci1 odczytujemyztablicrozk“adu
2
kwantylec
1
i
c
2
odpowiedniorzƒdu
1
2
i1
1
2
.W
ó
wczas:
P
ns
2
c
2
<
2
<
ns
2
c
1
=1:
IIm
odel:P
r
ó
badu»an >30.Korzystamyzezbie»no–cistatystyki
p
2
2
n
P
s
1+
u
< <
s
1
u
=1
p
p
2n
2n
gdzieu
jestkwantylemrzƒdu1
1
2
rozk“aduN(0;1).
Przyk“ad:1.Wprzyk“adziezutlenianiemw¡trobykr
ó
likawyznaczy¢przedzia“
ufno–cidlaodchyleniastandardowego.Przyj¡¢poziomufno–ci1=0;95.
Przyk“ad:2.Pewienautomatwfabryceczekoladywytwarzatabliczkiczekolady
onominalnejwadze200g.Wiadomo,»erozk“adwagiprodukowanychtabliczek
jestnormalnyN(m;5).Kontrolatechnicznapobra“a,pr
ó
bƒ16tabliczekiotrzy-
ma“aich–redni¡wagƒ195g.Czymo»natwierdzi¢,»eautomatrozregulowa“siƒ
iprodukujetabliczkiomniejszejni»powinienwadze?Postawi¢izwery
kowa¢
odpowiedni¡hipotezƒstatystyczn¡.Przyj¡¢poziomistotno–ci =0;05.
Parametrycznetestyistotno–ci
Stawiamyhipotezƒdotycz¡c¡warto–ciparametrurozk“adu(–redniejlub
wariancji),tzw.hipotezƒzerow¡H
0
przeciwpewnejhipoteziealternaty-
wnej(H
1
).Przyk“adowo:
H
0
:m=m
0
.
Przyza“o»eniuprawdziwo–cihipotezyH
0
znanyjestrozk“adodpowiedniej
statystyki.
Woparciuotoza“o»eniabudujemytzw.obszarkrytycznyczyliobszar,w
kt
ó
rymwarto–¢statystykimo»eznale„¢siƒzma“ymustalonymwcze–niej
prawdopodobie«stwemnazywanympoziomemistotno–ci.
1
p
2n1! N(0;1)idostajemy
Zwykleprzyjmujesiƒ=0;05lub0;01
Je–liwyznaczonanapodstawiewynik
ó
wpr
ó
bywarto–¢statystykiwpadnie
wobszarkrytyczny,toH
0
odrzucamynakorzy–¢H
1
.
Je–liwarto–¢statystyki,nieznajdziesiƒwobszarzekrytycznym,tostwierdzamy,
»eniemapodstawdoodrzuceniaH
0
.
B“¡dpierwszegorodzajupoleganaodrzuceniuhipotezyprawdziwej.
Prawdopodobie«stwopope“nieniab“ƒdupierwszegorodzaju,topoziom
istotno–ci.
B“¡ddrugiegorodzajupoleganaprzyjƒciuhipotezyfa“szywej.
Je–liniestwierdzimyprawdziwo–ci H
0
tylko,»eniemapodstawdojej
odrzucenia,tounikamyb“ƒdudrugiegorodzaju.
Kszta“tobszarukrytycznegozale»yodprzyjƒtejhipotezyalternatywnej
H
1
.
H
1
: m 6=m
0
obszardwustronnyobejmujewarto–cimniejszeod
kwantylarzƒdu
1
2
iwiƒkszeodkwantylarzƒdu1
1
2
.
H
1
: m > m
0
obszarprawostronnyobejmujewarto–ciwiƒkszeod
kwantylarzƒdu1.
H
1
: m < m
0
obszarlewostronyobejmujewarto–cimniejszeodkwantyla
rzƒdu.
Testyistotno–cidla–redniej(H
0
: m=m
0
)
Imodel:Populacjageneralnamarozk“adnormalnyoznanymodchyleniu
standardowym.Statystyka:
U=
X m
0
p
n
marozk“adN(0;1).
IImodel:Populacjageneralnamarozk“adnormalnyonieznanymodchyleniu
standardowym.Liczebno–¢pr
ó
byjestma“a(n 30).Statystyka:
t=
X m
0
s
p
n1=
X m
s
p
n
marozk“adtStudentaon1stopniachswobody.
IIImodel:Populacjageneralnamadowolnyrozk“adosko«czonej–rednieji
wariancji.Pr
ó
bajestdu»a(n >30).Statystyka
U=
X m
0
s
p
n
marozk“adN(0;1).
2
Testyistotno–cidladw
ó
ch–rednich(H
0
: m
1
=m
2
)
Por
ó
wnujemydwiepopulacjageneralneorozk“adachN(m
1
;
1
),N(m
2
;
2
).
Losujemypr
ó
bƒliczebno–ci n
1
zpierwszejiliczebno–ci n
2
zdrugiejpopulacji.
Zak“adamyprawdziwo–¢hipotezyH
0
.
Imodel:Odchyleniastandardowe
1
;
2
s¡znane.Statystyka:
u=
X
1
X
2
s
n
1
+
2
2
n
2
marozk“adN(0;1).
IImodel:Odchyleniastandardowe
1
;
2
s¡nieznanealer
ó
wne(zak“adamy,
»e
1
=
2
).Liczebno–cipr
ó
bs¡ma“e.Statystyka:
t=
X
1
X
2
n
1
+n
2
2
(
1
n
1
+
1
n
2
)
marozk“adtStudentaon
1
+n
2
2stopniachswobody.
IIImodel:Pr
ó
bys¡du»e.Statystyka
u=
X
1
X
2
s
n
1
+
s
2
2
n
2
marozk“adN(0;1).
Uwaga1.Wniekt
ó
rychsytuacjachzamiasttestupor
ó
wnaniadw
ó
ch–rednich
mo»nazastosowa¢testdlar
ó
»nicyzmiennychlosowychiwery
kowa¢hipotezƒ
H
0
: m=0dlatakokre–lonejzmiennej.Typowasytuacja:obapomiary
dotycz¡tychsamychosobnik
ó
wnp.przedoperacj¡ipo.
Testydlawariancjiiodchyleniastandardowego
Stawiamyhipotezƒowarto–cinieznanejwariancji(odchyleniastandardowego)
populacjiorozk“adzienormalnym:
H
0
:
2
=
2
0
(=
0
):
Imodel:Pr
ó
bama“a.Statystyka
2
=
ns
2
2
0
marozk“ad
2
on1stopniachswobody.
3
2
1
s
n
1
s
2
1
+n
2
s
2
2
s
2
1
 IImodel:Pr
ó
badu»a.Korzystamyzprzybli»eniarozk“ademnormalnym.
Statystyka
u=
p
2
2
p
2n1
marozk“adN(0;1).
1.Oczywi–ciejakzwyklestatystykimaj¡podanerozk“adyprzyza“o»eniu
prawdziwo–ciH
0
.
Zmiennelosowedwuwymiarowe
Je–liX;Ys¡zmiennymiokre–lonyminatejsamejprzestrzeniprobabilisty-
cznej,toparƒ(X;Y)nazywamyzmienn¡losow¡dwuwymiarow¡.
Dystrybuant¡zmiennej(X;Y)nazywamyfunkcjƒ(dw
ó
chzmiennych!) F:
R
Dlatypuskokowegorozk“adzmiennej(X;Y)okre–lamypodaj¡czbiory
fx
1
;x
2
;:::;x
m
g,fy
1
;y
2
;:::;y
n
giprawdopodobie«stwa
p
ik
:=P(X=x
i
;Y=y
k
):
Rozk“adybrzegowe,toznaczyrozk“adyzmiennychX i Ywyznaczamy
nastƒpuj¡co:
p
i
:=P(X=x
i
)=
X
p
ik
; p
k
:=P(Y=y
k
)=
X
p
ik
k=1
i=1
Tabelarozk“aduzmiennejdwuwymiarowejtypuskokowego
YX x
1
x
2
x
m
y
1
p
11
p
21
p
m1
p
1
y
2
p
12
p
22
p
m2
p
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y
n
p
1n
p
2n
p
mn
p
n
p
1
p
2
p
m
1
De
nicja1.Kowariancj¡zmiennejlosowejdwuwymiarowejnazywamyparametr
Cov(X;Y):=E((X E(X)(Y E(Y))=E(XY)E(X)E(Y):
Wsp
ó
“czynnikiemkorelacjinazywamy
(X;Y)=
Cov(X;Y)
D(X)D(Y)
:
4
2
![0;1]okre–lon¡wzoremF(x;y)=P(X < x^Y < y):
Kowariancjadlazmiennychtypuskokowego
Cov(X;Y)=
X
i;k
(x
i
m
X
)(y
k
m
Y
)p
ik
=
X
i;k
x
i
y
k
p
ik
m
X
m
Y
gdzie
X
X
m
X
=E(X)=
x
i
p
i
; m
Y
=E(Y)=
y
k
p
k
i=1
k=1
s¡wyznaczanezrozk“ad
ó
wbrzegowych(podobniejakodchyleniastandardowe,
kt
ó
res¡potrzebnedowyznaczeniawsp
ó
“czynnikakorelacji).
Kowariancjaiwsp
ó
“czynnikkorelacjis¡miar¡zale»no–ciliniowejmiƒdzy
zmiennymiX;Y.
j(X;Y)j1,
je»eliX;Ys¡niezale»ne,to(X;Y)=0,
jj=1wtedyitylkowtedy,gdyistniej¡takiesta“ea;b,»eP(Y=aX+
b)=1.
Przyk“ad:3.Do–wiadczeniepolegana3-krotnymrzuciemonet¡.ZmiennaX
liczyilo–¢or“
ó
wwtymdo–wiadczeniu,azmiennaYprzyjmujewarto–¢1gdy
or“
ó
wjestwiƒceji0gdywiƒcejjestreszek.Okre–li¢rozk“adzmiennejdwuwymi-
arowej(X;Y).Wyznaczy¢wsp
ó
“czynnikkorelacji.
Estymatorwsp
ó
“czynnikakorelacji:
X
X
X
X
x
i
y
i
1
n
(x
i
X)(y
i
Y)
x
i
y
i
i=1
i=1
i=1
i=1
r=
v
u
u
u
u
t
=
v
u
u
u
u
t
(
X
(x
i
X)
2
X
i=1
X
X
X
X
x
2
i
1
y
2
i
1
(y
i
Y)
2
x
i
)
2
)(
y
i
)
2
)
n
(
n
(
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
Wery
kacjahipotezyoiistnieniukorelacji
H
0
: =0(zmiennenies¡skorelowane)
H
1
: 6=0zmiennes¡skorelowanelub
H
1
: >0istniejedodatniakorelacjamiƒdzyXiY lub
H
1
: <0istniejeujemnakorelacjamiƒdzyXiY.
Przyza“o»eniuprawdziwo–ci H
0
statystyka
t=
r
p
p
n2
1r
2
marozk“adt-Studentaon2stopniachswobody.
Wprzypadkuodrzuceniahipotezyobrakukorelacjiwyznaczasiƒzwykle
prost¡regresjidrugiegorodzaju.
5
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

happyhour.opx.pl